Gruppo V4 Klein come sottogruppo normale del gruppo alterno

[Ghezzabanda]

Salve ragazzi!
Per domani devo dimostrare che il gruppo $S_4$ contiene un sottogruppo normale che è isomorfo al gruppo $V$ di Klein!

Io ho pensato il sottogruppo normale di $S_4$ potesse essere il gruppo alterno $A_4$! Ho dimostrato che quest'ultimo è normale a $S_4$, ma non so come far vedere che è isomorfo a $V_4$!
Mi potete aiutare?

[miuemia]

attenzione...come può essere $A_4$ isomorfo al gruppo di Klein visto che $A_4$ contiene $12$ elementi mentre il grupopo di Klein solo $4$.... semmai è vero che $A_4$ contiene un sottogruppo isomorfo al gruppo di klein... ma qwuesto bisogna dimostrarlo.

[Ghezzabanda]

"miuemia":attenzione...come può essere $A_4$ isomorfo al gruppo di Klein visto che $A_4$ contiene $12$ elementi mentre il grupopo di Klein solo $4$.... semmai è vero che $A_4$ contiene un sottogruppo isomorfo al gruppo di klein... ma qwuesto bisogna dimostrarlo.

Ok! Hai ragione! come non detto! allora a zero!


mmm potrei prendere come sottogruppo di $S_4$ il seguente? $V = {id; (1,2)(3,4); (1,3)(2,4); (1,4)(2,3)}$?
Come dimostro però che è un sottogruppo normale di $S_4$?

e l'isomorphismo come lo metto dentro? cioé devo fare vedere che è isomorpho a $V_4$ mmmmm

[miuemia]

ricorda che un sottogruppo normale è invariante per automorfismi...quindi????
quello è il sottogruppo che ti interessa....beh per vedere che è isomorfo a klein mi sembra abbastanza ovvio.