Gruppo simmetrico $S_4$
Volevo porre la seguente domanda, il gruppo simmetrico $S_4$ è un gruppo finitamente generato?
Se si, qual'è il sottoinsieme di elementi che lo genera?
Resto in attesa di una risposta!
Saluti!
Se si, qual'è il sottoinsieme di elementi che lo genera?
Resto in attesa di una risposta!
Saluti!
Risposte
Guarda cosa ho trovato sfogliando il libro di algebra... 
Qualunque sia il numero $ n >= 2 $ risulta $ S_n = <(12),(12...n)> $
Qualunque sia il numero $ n >= 2 $ risulta $ S_n = <(12),(12...n)> $
Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito.
Allora l'insieme [tex]G[/tex] è finito e genera [tex]G[/tex].
Quindi [tex]G[/tex] è finitamente generato.
In altre parole: formula meglio la domanda
Allora l'insieme [tex]G[/tex] è finito e genera [tex]G[/tex].
Quindi [tex]G[/tex] è finitamente generato.
In altre parole: formula meglio la domanda
"perplesso":
Guarda cosa ho trovato sfogliando il libro di algebra...
Qualunque sia il numero $ n >= 2 $ risulta $ S_n = <(12),(12...n)> $
a proof
http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/frib/ ... 00_25.html
Esiste un sottoinsieme di elementi di $S_4$, diverso dall'insieme vuoto e dallo stesso $S_4$, che genera $S_4$?
"francicko":
Esiste un sottoinsieme di elementi di $S_4$, diverso dall'insieme vuoto e dallo stesso $S_4$, che genera $S_4$?
Guarda il mio link e la risposta di Perplesso. Comunque il più intuitivo e semplice è l'insieme degli scambi.
Detto questo ogni gruppo ha un insieme \(\displaystyle S\subsetneq G \) tale che \(\displaystyle G = \langle S \rangle \). Questo insieme è banalmente \(\displaystyle S = G - \lbrace 1 \rbrace \).
Un sottoinsieme di generatori tale che non esista nessun \(\displaystyle g\in S \) tale che \(\displaystyle S-\lbrace g\rbrace \) generi \(\displaystyle G \) viene detto minimale (due insiemi di generatori minimali di uno stesso gruppo possono avere cardinalità diversa!). L'insieme degli scambi non è minimale. L'insieme degli scambi della forma \(\displaystyle (1,\;alpha) \) invece lo è (ma non ha cardinalità minima come è mostrato da Perplesso). Un altro insieme di generatori minimali fatto di scambi è quello formato dagli scambi del tipo \(\displaystyle (\alpha,\;\alpha+1) \).
Una curiosità: non tutti i gruppi possiedono insiemi di generatori minimali e non tutti gli insiemi di generatori possono essere portati ad uno minimale. Un esempio abbastanza elementare è \(\displaystyle \mathbb{Q} \) con la somma. Invito chi non conoscesse la risposta a provare a dilettarsi a capire il perché non possiede insiemi di generatori minimali.
Grazie per le risposte, chiarissime ed esaudienti!!
volevo provare a rispondere per gli insiemi minimali di Q, visto che non mi riesce in modo semplice:
Parto da H insieme generatore e tolgo da questo un elemento $q$. Voglio vedere che genera ancora.
La mia idea è che, dati $a,b$ interi, il razionale $q*(a/b)$ era generato da H. Questo implica che con combinazioni lineari
a coefficienti in Z di elementi di H (diversi da q!) possiamo ottenere il razionale $q(a-mb)$, dove $m$ è un intero che dipende da $a$ e $b$.
A noi serve $q$, quindi seguiamo il procedimento per una coppia di $a$ e $b$, ed otteniamo $q(p_1^{n_1}..p_k^{n_k})$ (dividendo $a-mb$ in fattori).
Se riusciamo ad ottenere (sempre usando solo razioanli in H diversi da Q) anche dei numeri $t_k=q*n_k$, dove $n_k$ non contiene $p_k$ nella fattorizzazione, allora visto che usando l'algoritmo di euclide (e definendo $n_0=(p_1^{n_1}..p_k^{n_k})$) si ha che esistono dei coefficienti per cui
$1=u_0n_0+u_1n_1+..+u_2n_k$, ottengo anche $q$ usando solo elementi di $H$ (diversi da Q).
Per ottenere questi $t_k$ basta scegliere $b=p_k$ ed $a =1$ da cui $t_k=q(1-m_kp_k)$ fanno il lavoro voluto....
funziona?
Parto da H insieme generatore e tolgo da questo un elemento $q$. Voglio vedere che genera ancora.
La mia idea è che, dati $a,b$ interi, il razionale $q*(a/b)$ era generato da H. Questo implica che con combinazioni lineari
a coefficienti in Z di elementi di H (diversi da q!) possiamo ottenere il razionale $q(a-mb)$, dove $m$ è un intero che dipende da $a$ e $b$.
A noi serve $q$, quindi seguiamo il procedimento per una coppia di $a$ e $b$, ed otteniamo $q(p_1^{n_1}..p_k^{n_k})$ (dividendo $a-mb$ in fattori).
Se riusciamo ad ottenere (sempre usando solo razioanli in H diversi da Q) anche dei numeri $t_k=q*n_k$, dove $n_k$ non contiene $p_k$ nella fattorizzazione, allora visto che usando l'algoritmo di euclide (e definendo $n_0=(p_1^{n_1}..p_k^{n_k})$) si ha che esistono dei coefficienti per cui
$1=u_0n_0+u_1n_1+..+u_2n_k$, ottengo anche $q$ usando solo elementi di $H$ (diversi da Q).
Per ottenere questi $t_k$ basta scegliere $b=p_k$ ed $a =1$ da cui $t_k=q(1-m_kp_k)$ fanno il lavoro voluto....
funziona?
(all'inizio prendiamo a e b primi così che a-mb sia non nullo)
ma che domanda e'? ogni gruppo finito e' OVVIAMENTE finitamente generato.
x@Valerio Capraro.
Chiedo scusa, mi rendo conto che nella fretta ho posto una domanda banale!
In effetti la domanda che volevo porre é la seguente:
consideriamo le seguenti permutazioni $(123)(456)$, ed $(1245)$ in $S_6$, le suddette permutazioni generano in $S_6$ un
sottogruppo isomorfo ad $S_4$?
E' chiaro che in $S_6$ vi sono diversi sottogruppi isomorfi ad $S_4$, basta prendere tutte le possibili permutazioni di un sottoinsieme di $4$ elementi di $S_6$, ma a me servirebbe sapere se queste due suddette permutazioni generano effettivamente un sottogruppo di $S_6$ isomorfo ad $S_4$.
In attesa di una risposta ,ti invio cordiali saluti!
Chiedo scusa, mi rendo conto che nella fretta ho posto una domanda banale!
In effetti la domanda che volevo porre é la seguente:
consideriamo le seguenti permutazioni $(123)(456)$, ed $(1245)$ in $S_6$, le suddette permutazioni generano in $S_6$ un
sottogruppo isomorfo ad $S_4$?
E' chiaro che in $S_6$ vi sono diversi sottogruppi isomorfi ad $S_4$, basta prendere tutte le possibili permutazioni di un sottoinsieme di $4$ elementi di $S_6$, ma a me servirebbe sapere se queste due suddette permutazioni generano effettivamente un sottogruppo di $S_6$ isomorfo ad $S_4$.
In attesa di una risposta ,ti invio cordiali saluti!
Lascia perdere i "cordiali saluti". Hai provato ad elencare tutti gli elementi? Al momento non mi viene in mente una maniera generale "dall'alto" per rispondere alla domanda. In questi casi si puo' sempre ricorrere alla forza bruta: divertiti a calcolare tutti gli elementi e vedi quello che esce fuori.
"francicko":Domanda che poi hai posto qui, e ti abbiamo risposto.
In effetti la domanda che volevo porre é la seguente:
consideriamo le seguenti permutazioni $(123)(456)$, ed $(1245)$ in $S_6$, le suddette permutazioni generano in $S_6$ un
sottogruppo isomorfo ad $S_4$?
[xdom="Martino"]Per il futuro, per favore cerca di evitare di aprire due filoni per una stessa cosa.[/xdom]
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