Gruppo simmetrico (orbita e centralizzatore)
Non riesco a far tornare i conti, probabilmente è una stupidagine ma è un pò che ci son sopra...
Determinare il centralizatore di [tex]$\sigma=(14)(32)$[/tex] in [tex]$S_4$[/tex]
Svolgimento
Poichè vale [tex]$\tau(14)(32)\tau^{-1}=(\tau(1)\tau(4))(\tau(3),\tau(2))$[/tex] si vede subito che le uniche possibilità per tau sono
[tex]$(14)$[/tex]
[tex]$(32)$[/tex]
[tex]$(14)(32)$[/tex]
[tex]$id$[/tex]
Quindi il centralizzatore ha 4 elementi
E fin qui sembra andare tutto bene, ma se vogliamo fare una verifica con l'equazione delle classi otteniamo
[tex]$|S_4(14)(32)|=\frac{|S_4|}{|C((14)(32))|}$[/tex]
notazione
[tex]S_4(14)(32)=( \tau (14)(32) \tau^{-1} | \tau \in S_4 )[/tex] ovvero è la classe di coniugio
[tex]$C((14)(32)$[/tex] è il centralizzatore dell'elemento
Si trova (con semplici conti o più semplicemente a mano) che
[tex]S_4(14)(32)=( (14)(32),(13)(42),(12)(43))$[/tex]
Dunque la classe di coniugio ha 3 elementi.
Sostituendo nell'equazione delle classi verrebbe che il centralizzatore deve avere 8 elementi , cosa non vera.
Determinare il centralizatore di [tex]$\sigma=(14)(32)$[/tex] in [tex]$S_4$[/tex]
Svolgimento
Poichè vale [tex]$\tau(14)(32)\tau^{-1}=(\tau(1)\tau(4))(\tau(3),\tau(2))$[/tex] si vede subito che le uniche possibilità per tau sono
[tex]$(14)$[/tex]
[tex]$(32)$[/tex]
[tex]$(14)(32)$[/tex]
[tex]$id$[/tex]
Quindi il centralizzatore ha 4 elementi
E fin qui sembra andare tutto bene, ma se vogliamo fare una verifica con l'equazione delle classi otteniamo
[tex]$|S_4(14)(32)|=\frac{|S_4|}{|C((14)(32))|}$[/tex]
notazione
[tex]S_4(14)(32)=( \tau (14)(32) \tau^{-1} | \tau \in S_4 )[/tex] ovvero è la classe di coniugio
[tex]$C((14)(32)$[/tex] è il centralizzatore dell'elemento
Si trova (con semplici conti o più semplicemente a mano) che
[tex]S_4(14)(32)=( (14)(32),(13)(42),(12)(43))$[/tex]
Dunque la classe di coniugio ha 3 elementi.
Sostituendo nell'equazione delle classi verrebbe che il centralizzatore deve avere 8 elementi , cosa non vera.
Risposte
"angus89":No attento: anche i seguenti elementi stanno nel centralizzante:
Determinare il centralizatore di [tex]$\sigma=(14)(32)$[/tex] in [tex]$S_4$[/tex]
Svolgimento
Poichè vale [tex]$\tau(14)(32)\tau^{-1}=(\tau(1)\tau(4))(\tau(3),\tau(2))$[/tex] si vede subito che le uniche possibilità per tau sono
[tex]$(14)$[/tex]
[tex]$(32)$[/tex]
[tex]$(14)(32)$[/tex]
[tex]$id$[/tex]
Quindi il centralizzatore ha 4 elementi
$(1342)$
$(1243)$
$(12)(34)$
$(13)(24)$
Il centralizzante ha ordine 8.
"angus89":
Quindi il centralizzatore ha 4 elementi
Ci sono anche le quattro [tex](13)(24)\tau[/tex], con le [tex]\tau[/tex] quelle che hai detto te. Prova a spiegare perchè scegliere proprio queste (ti assicuro che per trovarle non ho fatto la verifica contereccia che tutte e 4 commutino). E ti propongo questo:
trova il centralizzatore di $(123)(456)(789)\in S_{13}$.
Anticipo dicendo che non ho colto il suggerimento, l'esercizio proprio sulla fine non è venuto (manca solo una piccola cosa)...
Prima di ragionare imposto l'equazione delle classi che deve dirmi quanti elementi deve contenere il centro
[tex]$|S_{13} \cdot (123)(456)(789)|= \frac{|S_n|}{C( (123)(456)(789))}$[/tex]
Dunque si inizia con il contare gli elemti dell'orbita, per i soliti ragionamenti il tutto si riduce a contare sono gli elementi [tex]$(a_1 a_2 a_3)(a_4 a_5 a_6) (a_7 a_8 a_9)$[/tex] ci sono in [tex]$S_{13}$[/tex] (sono appunto il prodotto di 3 3-cicli disgiunti)
edit errore, vedi post successivo di martino
quindi abbiamo
[tex]$|S_{13} \cdot (123)(456)(789)| = \binom{13}{3} \cdot \frac{3!}{3} \cdot \binom{10}{3} \cdot \frac{3!}{3} \cdot \binom{7}{3} \cdot \frac{3!}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{13!}{4! \cdot 3^4}$[/tex]
La moltiplicazione per tre fattoriale è dovuta al fatto che le "triplette" sono ordinate, la divisione per tre è dovuta al fatto che non è importante il numero da cui cominciano i 3-cicli (ad esempio (123) è equivalente a (231) ),la divisione finale per tre è dovuta al fatto che i 3-cicli sono per l'appunto disgiunti dunque commutano.
In definitiva sostituendo all'equazione delle classi abbiamo che il centralizzatore ha 1944 elementi
Quali sono?
Sicuramente [tex]$H=<(123),(456),(789)>$[/tex] è un sottogruppo del centralizzatore e ha ordine 18.
Inoltre c'è da considerare
[tex]$\alpha_1=(14)(25)(36)$[/tex]
[tex]$\alpha_2=(47)(58)(69)$[/tex]
[tex]$\alpha_3=(17)(28)(39)$[/tex]
Questi vanno considerati poichè scambiano solo l'ordine dei tre tricicli [tex]$(123)(456)(789)$[/tex] che essendo disgiunti equivale a non far nulla
edit errore, vedi post successivo di angus89
[tex]$|<(123),(456),(789),\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3>|=54$[/tex]
Cosa manca?
edit mancano tutte le permutazioni dei 4 elementi rimanenti. ovvero ${10,11,12,13}$
Prima di ragionare imposto l'equazione delle classi che deve dirmi quanti elementi deve contenere il centro
[tex]$|S_{13} \cdot (123)(456)(789)|= \frac{|S_n|}{C( (123)(456)(789))}$[/tex]
Dunque si inizia con il contare gli elemti dell'orbita, per i soliti ragionamenti il tutto si riduce a contare sono gli elementi [tex]$(a_1 a_2 a_3)(a_4 a_5 a_6) (a_7 a_8 a_9)$[/tex] ci sono in [tex]$S_{13}$[/tex] (sono appunto il prodotto di 3 3-cicli disgiunti)
edit errore, vedi post successivo di martino
quindi abbiamo
[tex]$|S_{13} \cdot (123)(456)(789)| = \binom{13}{3} \cdot \frac{3!}{3} \cdot \binom{10}{3} \cdot \frac{3!}{3} \cdot \binom{7}{3} \cdot \frac{3!}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{13!}{4! \cdot 3^4}$[/tex]
La moltiplicazione per tre fattoriale è dovuta al fatto che le "triplette" sono ordinate, la divisione per tre è dovuta al fatto che non è importante il numero da cui cominciano i 3-cicli (ad esempio (123) è equivalente a (231) ),la divisione finale per tre è dovuta al fatto che i 3-cicli sono per l'appunto disgiunti dunque commutano.
In definitiva sostituendo all'equazione delle classi abbiamo che il centralizzatore ha 1944 elementi
Quali sono?
Sicuramente [tex]$H=<(123),(456),(789)>$[/tex] è un sottogruppo del centralizzatore e ha ordine 18.
Inoltre c'è da considerare
[tex]$\alpha_1=(14)(25)(36)$[/tex]
[tex]$\alpha_2=(47)(58)(69)$[/tex]
[tex]$\alpha_3=(17)(28)(39)$[/tex]
Questi vanno considerati poichè scambiano solo l'ordine dei tre tricicli [tex]$(123)(456)(789)$[/tex] che essendo disgiunti equivale a non far nulla
edit errore, vedi post successivo di angus89
[tex]$|<(123),(456),(789),\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3>|=54$[/tex]
Cosa manca?
edit mancano tutte le permutazioni dei 4 elementi rimanenti. ovvero ${10,11,12,13}$
"angus89":A me risulta il doppio, 3888.
In definitiva sostituendo all'equazione delle classi abbiamo che il centralizzatore ha 1944 elementi
Infatti:
la divisione finale per tre è dovuta al fatto che i 3-cicli sono per l'appunto disgiunti dunque commutano.Per dimenticarti dell'ordine devi dividere per $3!$, non per 3.
Un'idea per semplificare: osserva che il centralizzante in [tex]S_{13}[/tex] di [tex]g=(123)(456)(789)[/tex] è isomorfo a [tex]C_{S_9}(g) \times S_4[/tex].
@martino
E' vero ho sbagliato, avrei dovuto dividere per 3!, adesso i conti tornano anche a me
C'è comunque un errore gravissimo nel mio ragionamento: stavo trovando il centralizzatore in $S_9$!!!
Non ho mai considerato gli altri numeri ${10,11,12,13}$, cioè solo per trovare la cardinalità nell'equazione delle classi!
Infatti se si scrive l'equazione delle classi per cercare la cardinalità del centralizzatore dello stesso elemento in $S_9$ si trova 162, quindi al gruppo H ho sbagliato a calcolare la cardinalità essa è infatti 162
(ho usato quello che avrei dovuto usare prima per calcolare la cardinalità, ovvero la cardinalità di un prodotto di gruppi è il prodotto delle cardinalità se i gruppi hanno intersezione banale)
A questo punto sulla linea del suggerimento di martino devo soltanto moltiplicare il tutto per le permutazioni che coinvolgono soltanto ${10,11,12,13}$, che sono appunto isomorfe a $S_4$ che ha giusto $4!$ elementi
$4!*162=3888$
E' vero ho sbagliato, avrei dovuto dividere per 3!, adesso i conti tornano anche a me
C'è comunque un errore gravissimo nel mio ragionamento: stavo trovando il centralizzatore in $S_9$!!!
Non ho mai considerato gli altri numeri ${10,11,12,13}$, cioè solo per trovare la cardinalità nell'equazione delle classi!
Infatti se si scrive l'equazione delle classi per cercare la cardinalità del centralizzatore dello stesso elemento in $S_9$ si trova 162, quindi al gruppo H ho sbagliato a calcolare la cardinalità essa è infatti 162
(ho usato quello che avrei dovuto usare prima per calcolare la cardinalità, ovvero la cardinalità di un prodotto di gruppi è il prodotto delle cardinalità se i gruppi hanno intersezione banale)
A questo punto sulla linea del suggerimento di martino devo soltanto moltiplicare il tutto per le permutazioni che coinvolgono soltanto ${10,11,12,13}$, che sono appunto isomorfe a $S_4$ che ha giusto $4!$ elementi
$4!*162=3888$
Una curiosità: il centralizzante in [tex]S_n[/tex] di un prodotto di [tex]k[/tex] [tex]r[/tex]-cicli disgiunti è il prodotto diretto di [tex]S_{n-kr}[/tex] con un prodotto intrecciato [tex]C_r \wr S_k[/tex] (e da qui si vede subito che l'ordine di tale centralizzante è [tex](n-kr)! \cdot r^k \cdot k![/tex]). La parafrasi di questo è: per centralizzare un prodotto di cicli della stessa lunghezza, dopo aver isolato gli elementi non coinvolti (da qui [tex](n-rk)![/tex]), bisogna "rimestare"* ogni singolo ciclo (da qui [tex]r^k[/tex]) e poi permutare i cicli (da qui [tex]k![/tex]).
In realtà questo si generalizza totalmente: se una permutazione in [tex]S_n[/tex] ha nella struttura ciclica [tex]r_i[/tex] cicli di lunghezza [tex]i[/tex] per ogni fissato [tex]i=1,...,n[/tex] allora il suo centralizzante è un prodotto diretto
[tex]\prod_{i=1}^n C_i \wr S_{r_i}[/tex]
(dove si assume convenzionalmente [tex]S_0=\{1\}[/tex]). In particolare il suo ordine è
[tex]\prod_{i=1}^n (i^{r_i} \cdot r_i!)[/tex]
(ricordando che [tex]0!=1[/tex]).
----------------
* [size=75]Per "rimestare ogni singolo ciclo" intendo centralizzare ogni singolo ciclo usando il suo sottogruppo ciclico generato. Osserva infatti che il centralizzante di un $n$-ciclo $sigma$ in $S_n$ è $$ (per questo basta osservare che un elemento centralizzante è determinato dall'immagine di $1$, e ci sono $n$ possibili immagini di $1$).[/size]
In realtà questo si generalizza totalmente: se una permutazione in [tex]S_n[/tex] ha nella struttura ciclica [tex]r_i[/tex] cicli di lunghezza [tex]i[/tex] per ogni fissato [tex]i=1,...,n[/tex] allora il suo centralizzante è un prodotto diretto
[tex]\prod_{i=1}^n C_i \wr S_{r_i}[/tex]
(dove si assume convenzionalmente [tex]S_0=\{1\}[/tex]). In particolare il suo ordine è
[tex]\prod_{i=1}^n (i^{r_i} \cdot r_i!)[/tex]
(ricordando che [tex]0!=1[/tex]).
----------------
* [size=75]Per "rimestare ogni singolo ciclo" intendo centralizzare ogni singolo ciclo usando il suo sottogruppo ciclico generato. Osserva infatti che il centralizzante di un $n$-ciclo $sigma$ in $S_n$ è $
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