Gruppo simmetrico esercizio

[FELPONE]

Salve, ho questo esercizio: determinare il numero di elementi di ordine 2 nel gruppo simmetrico S4.
Come posso procedere?

[Pappappero1]

$S_4$ è abbastanza piccolo, quindi al limite fare l'esercizio con forza bruta considerando tutti gli elementi non è impossibile. Un modo un po' meno "bovino" potrebbe essere considerare quali sono i possibili tipi ciclici di un elemento di ordine $2$, e contare in generale quanti elementi ci sono di un determinato tipo ciclico.

[vict85]

È un problema quasi solo combinatorio.

Sia \(\sigma = c_1\dotsm c_s\) una scomposizione in cicli disgiunti di \(\displaystyle \sigma \), allora \(\displaystyle o(\sigma) = mcm(o(c_1),\dotsc, o(c_S)) \). Siccome tu vuoi che o(\sigma)=2 allora \(\displaystyle o(c_i) = 2 \) per ogni \(\displaystyle i \). Perciò \(\displaystyle \sigma \) è prodotto di scambi disgiunti.