Gruppo simmetrico e partizioni

[melli13]

Esibire un intero $n>=1$ tale che $S_n$ contiene un elemento di ordine maggiore di $n^(2)$.

Ma esiste un tale n..?io credo di no perchè altrimenti la partizione di n dovrebbe avere almeno un numero più grande di n e ciò non è possibile...

[Martino]

Sì esiste prova a pensarci

Ti faccio un esempio per metterti sulla strada giusta: in [tex]S_5[/tex] l'elemento [tex](123)(45)[/tex] ha ordine [tex]3 \cdot 2=6[/tex].

[Mrhaha]

Mmmm...ci sto pensando anche io!

[Mrhaha]

Nascondo la mia (buffa) soluzione per non mostrarla a melli se vuole ancora ragionarci,anche se non ne sono certo!

Per n=1 non vale?

[Paolo902]

@ Mrhaha:

Quale sarebbe l'elemento $sigma \in S_1 ={"id"}$ che ha ordine maggiore di $1^2=1$?

[vict85]

All'inizio ero un po' perplesso perché per \(n\) piccoli la differenza tra il quadrato e l'ordine dell'elemento con ordine maggiore aumenta. D'altra parte:

il prodotto di primi consecutivi cresce più velocemente del quadrato delle loro somme...

Quindi
\(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11 = 2310\)
\((2+3+5+7+11)^2 = 28^2 = 784\)

Anche se in realtà già
\(3\cdot 4\cdot 5\cdot 7 = 420\)
\((3+4+5+7)^2 = 19^2 = 361\)

Immagino che quindi \(n=19\) sia il primo valore per cui vale questa relazione che però non sono sicuro sia vera per ogni \(n>19\) (anzi penso che sia falsa per \(n=21\).

[melli13]

@Martino scusa...ho provato a pensare ma non arrivavo a nessuna conclusione e allora mi sono permessa di aprire i testi nascosti...sbagliavo perchè pensavo al prodotto di soli due numeri,che sciocca...!!!
@visct85 hai ragione...scusate se vi ho disturbati...e soprattutto... GRAZIE!