Gruppo simmetrico- alcuni quesiti

[Kashaman]

Per una questione di ordine, ho deciso di aprire un nuovo topic per postare tali quesiti. (l'altro topic lo lascio a Leonardo a 89 se è desideroso di porre alcune domande specifiche )
problema 1
Sia $H={\sigma in S_19 | \sigma({1,2,3,4})={1,2,3,4}}$
a) Provare che $H < S_19$.
b) Dire se esiste $\alpha in H | o(\alpha)=55$
c) Trovare due sottogruppi $K_1$ e $K_2$ di $H$ aventi ordine $60$ e tali che $K_1 nn K_2= Id}$

per a) Direi che poiché $H$ è finito mi basta provare che $AA \sigma, \tau in H : \sigma\tau in H $.
Ma ciò è vero.
Infatti , consideriamo $\sigma\tau$. Per ipotesi $\tau$ muove ${1,2,3,4}-> {1,2,3,4}$, ma lo stesso vale per $\sigma$.
Dunque, gli elementi $ k in { 1,2,3,4}$ che muove $\tau$ vengono mandati nell'insieme ${1,2,3,4}$ che muove $ \sigma$ ne segue allora che anche $\sigma\tau$ manda ${1,2,3,4}$ in ${1,2,3,4}$ , ciò è conforme alla definizione di $H$.
Pertanto $\tau\sigma in H$. Ciò prova che $H per il b) direi proprio di no.
Infatti poiché $55=11*5$ significherebbe avere una $\alpha in H$ prodotto di un $5$ ciclo e di un $11-ciclo$
Ma per ipotesi , $\alpha $ manda ${1,2,3,4}->{1,2,3,4}$ (1) e quindi, non può esser composta da un $5-ciclo$ e da un $11-ciclo$ , altrimenti l'ipotesi (1) non sarebbe soddisfatta. quindi no, non esistono elementi di periodo 55.
Per il c) non ci sono problemi, basta prendere ad esempio le permutazioni $\sigma_1= (1,2,3,4)(5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19) in H$
e $\sigma_2 = (1,3,2,4)(5,7,8,6,9,11,10,12,13,15,14,16,19,18) in H$
entrambe hanno periodo $60$ e quindi posso porre $K_1=<\sigma_1>$ e $K_2=<\sigma_2>$
Entrambi sottogruppi di $H$. La loro intersezione è sicuramente banale.
Infatti non esiste alcun $i in ZZ$ tale che $(1,2,3,4)^i=(1,3,2,4)$
e lo stesso vale per i $15-cicli$. Pertanto $K_1 nn K_2 = {id}$ (è giusto?! posso giungere a questa conclusione guardando ad esempio all'orbita di 5 nel primo $15-ciclo$ e l'orbita di 5 nel secondo $15-ciclo$? . In sostanza si vede ad occhio che l'intersezione è banale, come lo formalizzo?)

problema 2
Sia
$\sigma = (1,4,10,7)(2,11,3,12,8,9,13,6,5) in S_13$
E sia $G=<\sigma>$
a) Posto $H={\alpha in G | \alpha^2(1)=1,\alpha^3(2)=2}$
mostrare che $H$ è ciclico e determinare ordine e generatore.
b) Trovare due sottogruppi non banali di $H$.
svolgimento :

Consideriamo $\beta in H$. Poiché $b in G => $ $\beta$ è della forma $\sigma^i, i in ZZ$.
Voglio ora trovare $\sigma^i in H $ tale che $(\sigma^i)^2=(\sigma^2)^i$ mandi uno in uno.
e $(\sigma^i)^3=(\sigma^3)^i$ mandi 2 in 2.
Denotiamo con $\sigma_1=(1,4,10,7) ^^ \sigma_2=(2,11,3,12,8,9,13,6,5)$ i cicli di $\sigma$.
segue allora che $\sigma^i=\sigma_1^i\sigma_2^i$
Consideriamo $(\sigma_1^2)^i=(1,10)^i(4,7)^i$
affinché $\sigma ^i)$ mandi 1 in 1,si deve avere che $(\sigma_1^2)^i$ manda 1 in 1, quindi $i$ deve essere multiplo di $2$, visto che $\sigma_1^2$ ha periodo 2.(2)
consideriamo $(\sigma_2^3)^i=(2,12,13)^i(11,8,6)^i(3,9,5)^i$, con ragionamento analogo si evince che $i$ deve essere anche multiplo di $3$.
Quindi, $i$ dev'essere multiplo di $6$.
Pertanto $H=<\sigma^6>=<(1,10)(4,7)(2,12,13)(11,8,6)(3,9,5)>$. Segue inoltre che poiché $o(\sigma^6)=6=|H|$
b) consideriamo gli elementi $(1,10)(4,7) ^^ (2,13,12)(11,6,8)(3,5,9) in H$
tali elementi generano due sottogruppi non banali di ordine rispettivamente due e tre.
Segue allora che $K_1=<(1,10)(4,7)>$ , $K_2=(2,13,12)(11,6,8)(3,9,5)>$ sono i sottogruppi di $H$ richiesti

che ne pensate? Grazie mille

[perplesso1]

In relazione al problema 5 punto (b), alla luce di queste nuove cose che hai appreso puoi ragionare così:

$\sigma$ permuta con $\tau$ quindi $H= < \sigma>$ permuta con $K = < \tau >$ quindi $HK$ è un sottogruppo, il suo ordine è $o(HK) = {o(H) xx o(K)} / {o( H \cap K )} = {3 xx 3}/ 1 = 9$ ed è inoltre chiaro che $\sigma,\tau \in HK$. Fine.

[Kashaman]

"perplesso":In relazione al problema 5 punto (b), alla luce di queste nuove cose che hai appreso puoi ragionare così:

$\sigma$ permuta con $\tau$ quindi $H= < \sigma>$ permuta con $K = < \tau >$ quindi $HK$ è un sottogruppo, il suo ordine è $o(HK) = {o(H) xx o(K)} / {o( H \cap K )} = {3 xx 3}/ 1 = 9$ ed è inoltre chiaro che $\sigma,\tau \in HK$. Fine.

ora me lo sto studiando.
però piccola domanda, come ho ragionato io, andava ugualmente bene?

[j18eos]

Esercizio 4!

Non ti converrebbe prima scrivere \(\alpha\) in cicli disgiunti eppoi procedere? Può esservi annidiato qualche errore che non vedo!

[Kashaman]

"j18eos":Esercizio 4!

Non ti converrebbe prima scrivere \(\alpha\) in cicli disgiunti eppoi procedere? Può esservi annidiato qualche errore che non vedo!

ciao j , ho corretto tutto. Avevo completamente sbagliato a trascrivere la traccia. Dacci un'occhiata, ora dovrebbe andare meglio.

[j18eos]

Rieccomi qui a discutere dell'esercizio 4!

Il punto (a) è corretto, il punto (b) è sbagliato, basta considerare \(\alpha^4\).

Il punto (c) è sbagliato per come lo hai riportato nella traccia ma non mi sento di controllarlo data l'ora!

[Kashaman]

facciamo così xD domani lo ri-svolgo per intero. ho fatto un macello, dannato me!

[j18eos]

"Kashaman":facciamo così xD domani lo ri-svolgo [size=150]per intero[/size]. ho fatto un macello, [size=200]dannato me[/size]!

Quanto più grande l'hai scritta più grande l'ho evidenziata.

[Kashaman]

"j18eos":[quote="Kashaman"]facciamo così xD domani lo ri-svolgo [size=150]per intero[/size]. ho fatto un macello, [size=200]dannato me[/size]!

Quanto più grande l'hai scritta più grande l'ho evidenziata.[/quote]
j , mi hai messo in testa un dubbio atroce,
è grammaticalmente scorretto scrivere "per intero" ?

[j18eos]

Ma mica intendevo a livello grammaticale!

Scusa, devi correggere un punto di un esercizio e tu lo vuoi ri-fare tutto?
Eppoi perché ti maledici? Ti senti come Giuda l'Iscariota?

[Kashaman]

XD ora ho colto l'ironia!
intendevo gli ultimi due punti, mazza l'ora tarda fa scrivere cazzate.XD

[Kashaman]

rifatto.
la traccia non era corretta -.-.
riporto il problema 4
Sia$ \alpha=(1,7,14)(2,13,9,10,6)(3,12,11,5,8,4) in S_14$
$G=<\alpha>$
b) Determinare $D={\sigma in G | \sigma^2(3)=8}$
c) provare che $G$ è l'unico sottogruppo di $G$ contenente ${\alpha^6,\alpha^10,\alpha^15}$

(teniamo a mente che $o(\alpha)=30$
allora se $\sigma in D => \sigma in G$ quindi $\sigma$ è della forma $\alpha^i $ con $i in ZZ$
trovo per quali $i$
$(\alpha^i)^3=(\alpha^3)^i=..=(1,14,7)^i(2,9,6,13,10)^i(3,11,8)^i(12,5,4)^i$ manda 3 in 8.
ciò avviene se e solo se il $3-ciclo (3,11,8)$ manda 3 in otto
e ciò avviene se e solo se $2|i ^^ i!=30k , k in ZZ$
pertanto $D={\sigma in G| \sigma^2(3)=8}={\alpha^i| 2|i ^^ i!=30k} = <\alpha^2>\\{id}$
essendo $|<\alpha^2>|=15 $ segue che $|D|=15-1=14$. che ne dici? va bene così?
c) l'ho rivisto penso che si possa fare anche così.
scrivo $\alpha^6=(2,13,9,10,6)$
$\alpha^10=(1,7,14)(3,8,11)(12,4,5)$
$\alpha^15=(3,5)(12,8)(11,4)$
Sia $K$ un sottogruppo di $G$. Allora $|K|<=|G|=30$ (1)
se ${\alpha^10,\alpha^6,\alpha^15} sube K$ allora gli ordini di tali elementi dividono $K$.
pertanto $5||K| ^^ 3||K| ^^ 2||K|$ ne segue allora che $|K|>=m.c.m(5,3,2)=30$ (2)
da uno e due segue che $|K|=30$ pertanto $K=G$.

che ne dici?

[j18eos]

Il punto (c) è corretto, ma il punto (b) lo hai svolto di nuovo alla stessa maniera... ma fai i calcoli a mano!
Ti do degli input:

\(\alpha^2\) OK, \(\alpha^4\) e \(\alpha^6\) NO, \(\alpha^8\) OK: perché? C'è qualche proprietà "aritmetica" dei gruppi ciclici da utilizzare?

[Kashaman]

"j18eos":Il punto (c) è corretto, ma il punto (b) lo hai svolto di nuovo alla stessa maniera... ma fai i calcoli a mano!
Ti do degli input:

\(\alpha^2\) OK, \(\alpha^4\) e \(\alpha^6\) NO, \(\alpha^8\) OK: perché? C'è qualche proprietà "aritmetica" dei gruppi ciclici da utilizzare?

mmh, $\alpha^2$ va bene , $\alpha^4$no perché mi rimanda nel ciclo $(3,11,8)$ e quindi $(\alpha^i)^6$ non manda 3 in 8. stessa cosa per $i=6$ mi manda il ciclo nell'identità, $\alpha^8 $ va bene perché mi ritorna il quadrato .
$\alpha^10$ no mi rimanda in $(3,11,8)$, neanche $\alpha^12$ me lo manda nell'identità.
$\alpha^14$ va bene. $\alpha^16$ no me lo rimanda in $(3,11,8)$ così pure $\alpha^18$ lo rimanda nell'unità.
$\alpha^20$ si, $\alpha^22^^\alpha^24$ no , $\alpha^26$ si e basta mmh...
non riesco a vedere tale proprietà, ci penserò ancora un po.

[Kashaman]

problema 7
Siano date
$\sigma=(1,2,3,4)(5,6,7,8,9)(10,11)(12,13,14)$
$\tau=(1,10,3,2)(7,6,9,8,5)(4,11)(12,14,13)$ di $S_14$
a) determinare tutti gli $i$ tali che $<\sigma^i>nn<\tau>$ non sia banale
b) provare che se $K

per il punto a) ho ragionato così
so che se $<\sigma^i>sube <\sigma>$ allora $<\sigma^i>nn<\tau> sube <\sigma>nn<\tau>$
pertanto mi preoccupo di trovare prima $<\sigma>nn<\tau>$
con piccole osservazioni, si perviene che $<\sigma>nn<\tau>$$=<(12,13,14)>=<\sigma^20>$
ora voglio che $<\sigma^i>nn<\tau>$$=<\sigma^20>$
pertanto devo considerare tutte le potenze di $\sigma$ per le quali non mi annullano il $3-ciclo$ e cioé tutte le $i$ che non sono multiple di 3. pertanto $<\sigma^i>nn<\tau>$ è non banale se e solo se $3$ non divide $i$.
per il punto b)
ho constatato che $\sigma^12=(5,7,9,6,8) in K$ (per la chiusura di $K$) e che quindi $<\sigma^12 anche $\tau^12=(5,6,8,7,9) in K$ e per analoghi motivi $<\tau^12> l'ultimo si trova componendo $\sigma^12\tau^12=(5,8,9,7,6) => <\sigma^12\tau^12> < K$
pertanto abbiamo trovato i 3 sottogruppi richiesti

che ne dite? grazie.

[j18eos]

Sono passate più di 24 ore...

Si cerca l'ordine dell'insieme \(D\) delle permutazioni tali che \(\sigma^2(3)=8\) ed è arcinoto che \(\sigma^3_{\big/\{3;8;11\}}=Id_{\big|\{3;8;11\}}\), ma allora:\[\forall n\in\mathbb{Z},\,8=\sigma^2(3)=\sigma^2(3)\sigma^{3n}(3)=\sigma^{3n+2}(3)\] e poiché \(o(\sigma)=30\) interessano i valori \(n\in\{0;...;9\}\) ottenendo così che \(|D|=10\) e:\[D=\{\sigma^{3n+2}\mid n\in\{0;...;9\}\}.\]
L'aritmetica di cui scrivevo è l'aritmetica modulo \(3\): quando si è in gruppi ciclici finiti e si vogliono fare i calcoli si è obbligati a utilizzare l'aritmetica modulare.

OUT OF SELF Mi levo il cappello per il fatto che tu ti stia esercitando dall'Herstein, ma non pensi che sia inutile proporre esercizi a tutta forza senza aver "finito" i precedenti?

[Kashaman]

si j , hai ragione, li propongo per il "futuro" dato che il tempo stringe e a breve ho l'esame...
tali esercizi sono prove d'esame e non sono tratti dall'Herstein.
Comunque , penso tu mi abbia alquanto illuminato, penso.
sfrutti il fatto che $\sigma^3|_{3,8,11)=Id|_{1,2,3}$ e quindi per $n-=0(mod3) $ $\sigma^i|_{3,8,11)=\sigma^(3n)|_{3,8,11)=Id|_{1,2,3}$ (questo è ovvio essendo il periodo del tre ciclo suddetto proprio tre)
e quindi si può dire che $AA n in ZZ , 8=\sigma^2(3)=\sigma^2(3)\sigma^(3n)(3)=\sigma^(2n+3)$
quindi le $i in ZZ$
tali che $\sigma^i(3)=8$ sono della forma $i=3n+2$ ho capito bene?
ora , dato che $o(\sigma)=30$ noi "lavoriamo" modulo 30.
pertanto $n in {0,1,2,3,....,9}$
e quindi $D={(\sigma)^(3n+2)| n in {0,1,2,..,9}$ ho capito tutto?

[j18eos]

A parte qualche apice, hai capito e scritto bene!

[Kashaman]

grazie j!