Gruppo semplice

[Maryse1]

Allora volevo solo un piccolo chiarimento riguardo un esercizio:

G gruppo di ordine 48, dimostrare che non può essere semplice.

Allora quindi per dimostrare che non è semplice, devo dimostrare che ha sottogruppi normali diversi da quelli banali
Quindi adesso considero i sottogruppi di Sylow, 48= 3* $ (2)^(4) $
ed ho i 3-sottogruppi di Sylow che possono essere o 1, o 4, o 16 e i 2-sottogruppi di Sylow che possono essere o 1 o 3.
A questo punto suppongo per assurdo che G sia semplice e prendo X=[2-sottogruppi di Sylow]
Quindi agisco con G creando l'omomorfismo da G->S(x) e quindi da G->S3
Io so ora che il Ker di un omomorfismo è un sottogruppo normale, quindi devo verificare che il ker sia diverso dai due sottogruppi banali, sicuramente il Ker è diverso da 1 perchè l'applicazione non può essere iniettiva, ma come faccio a dimostrare che il Ker non può essere tutto G?...

Grazie in anticipo

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Dire che il ker è tutto G equivale a dire che l'azione è banale (cioè che fissa tutto). Ma ricorda che per la teoria di Sylow l'azione di G su X in oggetto è transitiva.

[Maryse1]

Ahhhhhh ok capito benissimo, quindi non essendo il ker banale il gruppo non può essere semplice, ok.
Grazie mille (: