Gruppo quoziente e ordine degli elementi
Ciao a tutti, ho questo quesito da proporvi:
Il gruppo quoziente $Z//400Z$ ha elementi di ordine 25?
ho visto che nel forum c'è un thread praticamente identico, ma nonostante ciò non sono riuscito a capire come svolgere l'esercizio..
La definizione di gruppo quoziente penso di averla capita, ossia è l'insieme delle classi di equivalenza con in più la regola della congruenza, però non saprei fare un esempio pratico per capirla ancora meglio.. si accetta ogni consiglio! grazie in anticipo
Il gruppo quoziente $Z//400Z$ ha elementi di ordine 25?
ho visto che nel forum c'è un thread praticamente identico, ma nonostante ciò non sono riuscito a capire come svolgere l'esercizio..
La definizione di gruppo quoziente penso di averla capita, ossia è l'insieme delle classi di equivalenza con in più la regola della congruenza, però non saprei fare un esempio pratico per capirla ancora meglio.. si accetta ogni consiglio! grazie in anticipo
Risposte
Le congruenze sono particolari relazioni d'equivalenza sul sostegno di una struttura algebrica compatibili con le operazioni di essa struttura!
Si scrive $\frac{\mathbb{Z}}{400\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}_{400}$ ed è gruppo ciclico... non ti dice nulla?
Si scrive $\frac{\mathbb{Z}}{400\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}_{400}$ ed è gruppo ciclico... non ti dice nulla?
"j18eos":
Si scrive $\frac{\mathbb{Z}}{400\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}_{400}$ ed è gruppo ciclico... non ti dice nulla?
uhm no
cercando in giro ho trovato che $Z//nZ$ sono i numeri primi con n, ossia tutti i numeri primi $<=n$.. può aiutare?
Classi di resto
L'esempio seguente, fornito dalla aritmetica modulare, è fondamentale.
Poiché nZ è un sottogruppo normale di Z di indice n, il gruppo quoziente Z/nZ è un gruppo commutativo finito con n elementi, che possiamo scrivere { 0, 1, 2, ..., n-1 }. La somma fra due elementi a e b è il resto della divisione di a + b per n. Poiché ogni elemento si scrive come n = 1 + ... + 1 (sommato n volte), il numero 1 è generatore del gruppo. Quindi Z/nZ è un gruppo ciclico.
Quando non si crea confusione con i numeri p-adici, si usa la notazione più stringata Zn invece di Z/nZ.
quindi $Z//400Z$ è composto da tutti quegli $n$ tale che $a+b$ è uguale a $(a+b) mod n$? non ne comprendo troppo il senso..
NO! I suoi elementi sono le classi dei numeri interi modulo 400; credo che tu sappia di cosa parlo.
Quello che hai scritto, per usare un'anglofonia, è un NO SENSE!
Quello che hai scritto, per usare un'anglofonia, è un NO SENSE!
"j18eos":
NO! I suoi elementi sono le classi dei numeri interi modulo 400; credo che tu sappia di cosa parlo.
Quello che hai scritto, per usare un'anglofonia, è un NO SENSE!
mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.. dunque son tutte le classi dei numeri interi modulo 400, ossia la classe dei numeri con resto 0, la classe dei numeri con resto 1, la classe dei numeri con resto 2, la classe ......, ecc?
@BeNdErR: Curiosità: cosa studi?
Ad ogni modo potrebbe essere utile ricordare che per i gruppi abeliani finiti vale l'inverso del teorema di Lagrange; in altre parole, se [tex]$G$[/tex] è un gruppo abeliano finito (in particolare ciclico) d'ordine [tex]$m$[/tex] allora per ogni [tex]$n$[/tex] divisore positivo di [tex]$m$[/tex] esiste in [tex]$G$[/tex] un sottogruppo d'ordine [tex]$n$[/tex].
Ad ogni modo potrebbe essere utile ricordare che per i gruppi abeliani finiti vale l'inverso del teorema di Lagrange; in altre parole, se [tex]$G$[/tex] è un gruppo abeliano finito (in particolare ciclico) d'ordine [tex]$m$[/tex] allora per ogni [tex]$n$[/tex] divisore positivo di [tex]$m$[/tex] esiste in [tex]$G$[/tex] un sottogruppo d'ordine [tex]$n$[/tex].
Nel caso dei gruppi ciclici tale sottogruppo è unico!
OUT OF SELF @BeNdErR: ti volevo suggerire di riprendere la teoria o di cambiare fonte per studiare, in quanto tali questioni richiedono l'ABC della teoria dei gruppi!
OUT OF SELF @BeNdErR: ti volevo suggerire di riprendere la teoria o di cambiare fonte per studiare, in quanto tali questioni richiedono l'ABC della teoria dei gruppi!
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