Gruppo quoziente e classi laterali
Ciao a tutti, potreste aiutarmi con quest'esercizio
Siano G un gruppo, H un sottogruppo di G, N un sottogruppo normale di G e p: G --> G/N la proiezione canonica.
Si dimostri che p(H) = HN/N.
Come dimostrazione va bene questa?
p(H) = {hN: h appartiene a H}, ma hN = hN * N = hN * nN = (hn)N per qualsiasi n appartenente a N.
Quindi p(H) = {(hn)N: h appartiene a H e n appartiene a N} = HN/N.
Siano G un gruppo, H un sottogruppo di G, N un sottogruppo normale di G e p: G --> G/N la proiezione canonica.
Si dimostri che p(H) = HN/N.
Come dimostrazione va bene questa?
p(H) = {hN: h appartiene a H}, ma hN = hN * N = hN * nN = (hn)N per qualsiasi n appartenente a N.
Quindi p(H) = {(hn)N: h appartiene a H e n appartiene a N} = HN/N.
Risposte
Secondo me è giusto, l'unica cosa (che probabilmente tu davi per scontata) è che come hai scritto te la dimostrazione hai solo che $p(H) \subseteq \frac{HN}{N}$, poi ovviamente tutte quelle implicazioni sono "a doppio senso" quindi hai anche il contrario, dunque $p(H) = \frac{HN}{N}$.
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