Gruppo prodotto diretto di gruppi finiti - FC-gruppo

[ti2012]

Buonasera. Chiedo scusa, sugli appunti da cui sto studiando c'è scritto che se per ipotesi abbiamo un gruppo che è prodotto diretto di una famiglia infinita di gruppi finiti, allora tale gruppo è un FC-GRUPPO ossia è un gruppo in cui ogni suo elemento ha un numero finito di coniugati. Si ha ciò in quanto ogni grupo che costituisce il prodotto diretto è un gruppo finito?

[Studente Anonimo]

Il prodotto diretto non è FC. Questo è ovvio: se per esempio hai un gruppo della forma $G^{NN}$ allora il centralizzante di $(x,x,...)$ è $C_G(x)^{NN}$ quindi ha indice infinito se $x$ non sta nel centro di $G$. Forse vuoi dire il prodotto diretto ristretto?

(Come ho trovato questa pagina? Scrivendo su google "direct product FC" e poi leggendo cosa ho trovato - cioè questo - ho capito che c'entrava il prodotto ristretto quindi ho scritto su google "restricted direct product").

Inoltre ti segnalo che dovresti veramente inserire tuoi ragionamenti più elaborati e tentativi di soluzione, perché hai scritto la prima cosa che ti è venuta in mente e in questo forum è richiesto uno sforzo da parte di chi pone i quesiti di cercare di trovare la soluzione. Questo ha una valenza anche didattica: tutti i quesiti che stai ponendo riguardano argomenti avanzati ed è chiaro da quanto scrivi che non ci hai pensato a sufficienza. Se non provi a pensare alle cose con la tua testa sarà difficile fare progressi nelle questioni che poni.