Gruppo privo di sottogruppi non banali

thedarkhero

Risposte
Gi81
Tieni presente che per ogni $a in G$ si ha \( \left \langle a \right \rangle\) sottogruppo di $G$ (questo per qualunque gruppo).
Per come sono le ipotesi, necessariamente $AA a in G \\{1}$ vale \( \left \langle a \right \rangle = G\).

Dunque se per assurdo $G$ fosse infinito, \(\displaystyle \forall a \in G \setminus \{1\}\) si avrebbe \(\displaystyle a \in \left \langle a^2 \right \rangle\) (perchè?),
ovvero $a= (a^2)^m= a^(2m)$ per un opportuno $m in NN$. Pertanto \(\displaystyle 1<|\left \langle a \right \rangle|\leq 2m \), assurdo.

thedarkhero
Se $G$ fosse infinito si avrebbe $AAa\inG\{1}$ $a\in$ perchè $$ essendo sottogruppo di $G$ e diverso da ${1}$ dovrebbe essere $G$ stesso, giusto?

Gi81
Giusto. E cosa garantisce che $$ è diverso da ${1}$?

thedarkhero
Il fatto che se $G$ fosse infinito $a$ sarebbe aperiodico e si avrebbe $a^r=1$ se e solo se $r=0$ e dunque $!={1}$.
Questo perchè $a$ è aperiodico se e solo se l'applicazione $v:ZZ->G$, $v(i)=a^i$ è iniettiva.
Grazie :-)

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