Gruppo non abeliano di ordine 21
Dimostrare che due gruppi non abeliani di ordine 21 sono necessariamente isomorfi.
Allora... Un gruppo di ordine 21 è necessariamente prodotto semidiretto del suo 7-Sylow (normale) con un suo 3-sylow. Quindi per concludere ho pensato di mostrare che c'è un unico prodotto semidiretto non abeliano [tex]\displaystyle C_7 \rtimes _ \phi C_3[/tex].
Ora, esistono 3 possibili omomorfismi $\phi:C_3->Aut(C_7)$ di cui uno è quello banale. Per concludere dovrei mostrare che questi due omomorfismi non banali danno luogo a prodotti semidiretti isomorfi. Probabilmente si riesce anche a concludere per questa via, ma c'è una mole spaventosa di conti se si vuole fare tutto a mano... Qualcuno ha in mente una strada più veloce?
Allora... Un gruppo di ordine 21 è necessariamente prodotto semidiretto del suo 7-Sylow (normale) con un suo 3-sylow. Quindi per concludere ho pensato di mostrare che c'è un unico prodotto semidiretto non abeliano [tex]\displaystyle C_7 \rtimes _ \phi C_3[/tex].
Ora, esistono 3 possibili omomorfismi $\phi:C_3->Aut(C_7)$ di cui uno è quello banale. Per concludere dovrei mostrare che questi due omomorfismi non banali danno luogo a prodotti semidiretti isomorfi. Probabilmente si riesce anche a concludere per questa via, ma c'è una mole spaventosa di conti se si vuole fare tutto a mano... Qualcuno ha in mente una strada più veloce?
Risposte
Se \(\displaystyle j\colon C_3 \to C_3 \) definita come \(\displaystyle j(g) = g^{-1} \), \(\displaystyle \varphi_s(g^t) = g^{2st} \) e \(\displaystyle \psi_s(g^t) = g^{4st} \) allora \(\displaystyle \psi_s = \varphi_{j(s)} \) per ogni \(\displaystyle s \in C_3 \) (per comodità ho identificato indice ed elemento per non appesantire troppo la notazione).
Probabilmente puoi creare un isomorfismo tra i due gruppi \(\displaystyle C_7\rtimes_{\varphi} C_3 \) e \(\displaystyle C_7\rtimes_{\psi} C_3 \).
Ora:
\(\displaystyle (g^m, s)\star (g^n, t) = (g^{m}\varphi_s(g^n), st) = (g^{m + 2sn}, st)\)
\(\displaystyle (g^m, s)\bullet (g^n, t) = (g^{m}\psi_s(g^n), st) = (g^{m + 4sn}, st)\)
Consideriamo la funzione \(\displaystyle \pi = \mathrm{id}\times j \) allora
\(\displaystyle \pi( (g^m, s)\star (g^n, t)) = \pi((g^{m + 2sn}, st)) = (g^{m + 2sn}, j(st)) \)
\(\displaystyle \pi((g^m, s))\bullet \pi((g^n, t)) = (g^m, j(s))\bullet (g^n, j(t)) = (g^{m}\psi_{j(s)}(g^n), j(st)) = (g^{m}\varphi_{s}(g^n), j(st)) = (g^{m + 2sn}, j(st))\)
Se non ho fatto errori questo dovrebbe quasi concludere la dimostrazione. Il resto dei controlli li puoi fare da solo.
Probabilmente puoi creare un isomorfismo tra i due gruppi \(\displaystyle C_7\rtimes_{\varphi} C_3 \) e \(\displaystyle C_7\rtimes_{\psi} C_3 \).
Ora:
\(\displaystyle (g^m, s)\star (g^n, t) = (g^{m}\varphi_s(g^n), st) = (g^{m + 2sn}, st)\)
\(\displaystyle (g^m, s)\bullet (g^n, t) = (g^{m}\psi_s(g^n), st) = (g^{m + 4sn}, st)\)
Consideriamo la funzione \(\displaystyle \pi = \mathrm{id}\times j \) allora
\(\displaystyle \pi( (g^m, s)\star (g^n, t)) = \pi((g^{m + 2sn}, st)) = (g^{m + 2sn}, j(st)) \)
\(\displaystyle \pi((g^m, s))\bullet \pi((g^n, t)) = (g^m, j(s))\bullet (g^n, j(t)) = (g^{m}\psi_{j(s)}(g^n), j(st)) = (g^{m}\varphi_{s}(g^n), j(st)) = (g^{m + 2sn}, j(st))\)
Se non ho fatto errori questo dovrebbe quasi concludere la dimostrazione. Il resto dei controlli li puoi fare da solo.
Forse ti può interessare questa classificazione dei gruppi di ordine 21
credo risolva il tuo problema ma in una maniera più elementare. Ciao.
credo risolva il tuo problema ma in una maniera più elementare. Ciao.
Ma esistono gruppi di ordine 21 non abeliani ?
Tutta la discussione verteva su gruppi non abeliani... Quello che ho scritto io e che ha scritto l'autore della discussione non erano prodotti diretti ma prodotti semidiretti (e loro sono spesso non abeliani).
Chiedo scusa per la mia limitatezza, ma l'autore lascia presupporre che esistano gruppi non abeliani di ordine 21; vorrei vederne uno.
Commodore, se interessa, il testo di cui ho postato un'immagine porta anche il seguente esempio.
Il gruppo generato dalle matrici ad entrate nel campo $Z_7$
$X=((1,1),(0,1))$
$Y=((4,0),(0,2))$
è non abeliano ed ha 21 elementi. Spero di aver appagato la tua curiosità.
Il gruppo generato dalle matrici ad entrate nel campo $Z_7$
$X=((1,1),(0,1))$
$Y=((4,0),(0,2))$
è non abeliano ed ha 21 elementi. Spero di aver appagato la tua curiosità.
Il prodotto semidiretto della mia risposta e della sua, nonché quello analizzato e descritto nell'estratto postato da perplesso, è l'unico gruppo non abeliano a meno di isomorfismi. Cosa esattamente intendi per vederne uno? Vuoi una tabella moltiplicativa? Avrebbe 441 celle... La presentazione la trovi in fondo all'estratto postato da perplesso e nel mio messaggio e in quello dell'autore vedi la sua descrizione in termine di prodotto semidiretto.
Scusatemi, la mia non era polemica ma solo una curiosità e vi ringrazio per le vostre risposte esaurienti. Scusatemi ancora.
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