Gruppo generale lineare e gruppo speciale lineare

[lewis1]

Sia $G= GL_2 (3)$.
a) Trovare $|G|$
b) Posto $S= SL_2 (3)$, mostrare che $|S|=24$
c) Trovare l'ordine di $ g in G$ dove $g = ((0,1),(1,1))$

RISOLUZIONE
G è il gruppo delle matrici 2x2 a coefficienti in $ZZ/3$ invertibili.
Dunque, per il punto a) sfrutto il fatto che, sui campi finiti,gli elementi del gruppo generale lineare sono in corrispondenza biunivoca con le basi ordinate del campo, cioè, $|GL_n(K)| =$ numero di basi ordinate di K.
Da questo si ricava la seguente formula:
$|G|= (3^2 - 3) (3 -1)= 8* 6= 48$.

b) Dunque, S è il gruppo delle matrici a coefficienti in $ZZ/3$ invertibili e aventi determinante 1.
Per il teorema di Lagrange so che l'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo, perciò
$|S|$ potrebbe essere 2,3,4,6,8,12,16,24.
Però non ho idea di come mostrare che la cardinalità sia proprio 24.

c) So che l'ordine di g sarà un divisore di 48.
L'unica idea che mi viene in mente è quella di calcolarlo proprio, quest'ordine: e mi viene $o(g) = 8$. Non so se sia corretto, comunque è possibile, visto che $ 8| 48$.

Potete aiutarmi per il punto b)?
Fino a qui ho commesso errori?
Grazie e buona serata.

[lewis1]

up

[Studente Anonimo]

Per il (b), ricorda che il determinante e' un omomorfismo suriettivo

[tex]\xymatrix{GL_n(K) \ar[r] & K^{\ast} = (K-\{0\},\cdot)}[/tex]

il cui nucleo e' [tex]SL_n(K)[/tex]. Prova ad usare il teorema di isomorfismo.