Gruppo fondamentale R^4 meno gli assi coordinati

[Milenix]

Buonasera a tutti! Ho bisogno del vostro aiuto e spero di essere nella sezione giusta.
All'ultimo appello dell'esame di topologia c'era un esercizio in cui si doveva calcolare il gruppo fondamentale di \( \mathbb{R^4} \) meno gli assi coordinati.
Ho cercato di dimostrare che \( \mathbb{R^4} \) meno gli assi si retrae fortemente per deformazione su Y= { $ S^3 $ \ 8 punti} considerando $ r:Xrarr Y $ che ad (x,y,z,w) associa (x,y,z,w)/||(x,y,z,w)|| e con \( i:Y\hookrightarrow X \) l'inclusione e poi un'opportuna omotopia per dimostrare che la retrazione è forte.
Praticamente viene fuori che { $ S^3 $ \ 8 punti} è omeomorfo per proiezione stereografica a \( \mathbb{R^3} \) meno 7 punti. Ma questo a cosa è isomorfo?

[solaàl]

Usa Van Kampen per dimostrare, per induzione su $n$, che \(\mathbb R^3 \setminus \{p_1,...,p_n\}\) è semplicemente connesso. Il motivo è che un cappio che non passa per un insieme discreto (quindi compatto) può essere allontanato dal discreto fino a occupare una regione semplicemente connessa.

[spugna2]

Puoi dimostrare in modo simile un fatto più generale: se togli un numero finito di punti da una $n$-varietà, con $n>=3$, il gruppo fondamentale non cambia.

[Milenix]

Grazie a entrambi, siccome non abbiamo studiato le varietà posso solo sfruttare il teorema di Seifert Van Kampen. Procedendo per induzione su n, ho per n=1 \( \mathbb{R^3} \) \{1 punto} che potrei scrivere come unione di due aperti connessi per archi \( \mathbb{R^3} \) >0 e \( \mathbb{R^3} \) <0 che sono anche semplicemente connessi, però cosi l'intersezione dei due aperti sarebbe vuota mentre nelle ipotesi di Seifert Van Kampen dev'essere non vuota e connessa per archi...

[solaàl]

Un modo alternativo che non usa VK è questo: il supporto di un cappio \(\gamma\), chiamiamolo $X$, e gli $n$ punti formano un sottospazio limitato; mettiti in un punto fuori dall'interno di una palla \(B(p,R)\) che li contenga propriamente. Chiama $q$ questo punto. Forma il cono \(\Sigma X\) su $X$ di sommità $q$; allora la mappa canonica \(X\times [0,1]\to \Sigma X\) induce un'omotopia tra \(\gamma\) e una costante (quella nel punto $q$).

E' una dimostrazione completamente elementare, che usa solo la nozione di omotopia (e, vabbè, un po' di topologia generale).

[Milenix]

Probabilmente ho detto una sciocchezza, dovrei solo scrivere meglio gli aperti. Posso prendere \( \mathbb{R^3} \) + \{(0,0,0)} e \( \mathbb{R^3} \) _ \{(0,0,0)}, sto togliendo solo l'origine e questa intersezione è non vuota