Gruppo fondamentale di un inseme finito
Sia $X = {1,2}$ con la topologia $\tau = { \emptyset, {1}, X}$.
Calcolare il suo gruppo fondamentale rispetto a 1 (e in seguito a 2).
Ho pensato di dimostrare che gli unici cammini (continui) chiusi rispetto a $1$ sono quelli costanti o si riducono omotopicamente a quelli, da cui segue che il gruppo fondamentale risulta banale.
Poniamo $\gamma(0) = \gamma(1) = 1$.
Se avessimo un insieme aperto $U$ punti in $[0,1]$ che non vengono mappati in ${1}$, allora
$\gamma: [0,1] \to X$, $\gamma^{-1}({2}) = U$, ma ${2}$ è chiuso, mentre $U$ è aperto. Segue che non è continuo il cammino.
Ma se abbiamo che un insieme chiuso di punti $A \subset [0,1]$ non vengono mappati in ${1}$
$\gamma^{-1}({2}) = A$, e quindi la funzione è continua.
Quindi i cammini del tipo:
$\gamma_A: [0,1] \to X$,
$\gamma_A(t) = {(1, x notin A),(2, x \in A):}$
Sono funzioni continue.
Come faccio a creare un omotopia da $\gamma_A$ al cammino costante $\gamma(t) = 1$?
Cosa succede se bisogna calcolare il gruppo fondamentale rispetto a $2$?
Grazie!
Calcolare il suo gruppo fondamentale rispetto a 1 (e in seguito a 2).
Ho pensato di dimostrare che gli unici cammini (continui) chiusi rispetto a $1$ sono quelli costanti o si riducono omotopicamente a quelli, da cui segue che il gruppo fondamentale risulta banale.
Poniamo $\gamma(0) = \gamma(1) = 1$.
Se avessimo un insieme aperto $U$ punti in $[0,1]$ che non vengono mappati in ${1}$, allora
$\gamma: [0,1] \to X$, $\gamma^{-1}({2}) = U$, ma ${2}$ è chiuso, mentre $U$ è aperto. Segue che non è continuo il cammino.
Ma se abbiamo che un insieme chiuso di punti $A \subset [0,1]$ non vengono mappati in ${1}$
$\gamma^{-1}({2}) = A$, e quindi la funzione è continua.
Quindi i cammini del tipo:
$\gamma_A: [0,1] \to X$,
$\gamma_A(t) = {(1, x notin A),(2, x \in A):}$
Sono funzioni continue.
Come faccio a creare un omotopia da $\gamma_A$ al cammino costante $\gamma(t) = 1$?
Cosa succede se bisogna calcolare il gruppo fondamentale rispetto a $2$?
Grazie!
Risposte
forse potrebbe andare $F(t,s)=gamma_A(t*s)$
$F(t,0)=gamma_A(0)=1$ e $F(t,1)=gamma_A(t)$
Per la continuità direi che F è composizione di due funzioni continue e quindi è continua (mi pare corretto). Poi se non sbaglio lo spazio è connesso per archi quindi il gruppo fondamentale non dipende dal punto base. Dimmi se ti torna, ciao
$F(t,0)=gamma_A(0)=1$ e $F(t,1)=gamma_A(t)$
Per la continuità direi che F è composizione di due funzioni continue e quindi è continua (mi pare corretto). Poi se non sbaglio lo spazio è connesso per archi quindi il gruppo fondamentale non dipende dal punto base. Dimmi se ti torna, ciao
L'omotopia l'ho capita.
Non mi torna perché l'insieme è connesso per archi però.
In ogni modo grazie!
EDIT: no adesso ho capito.
Basta scegliere $A = {1}$ chiuso, e la via $\gamma_A$ definita come prima è un cammino continuo da 1 a 2.
Grazie ancora!
Non mi torna perché l'insieme è connesso per archi però.
In ogni modo grazie!
EDIT: no adesso ho capito.
Basta scegliere $A = {1}$ chiuso, e la via $\gamma_A$ definita come prima è un cammino continuo da 1 a 2.
Grazie ancora!
tutto a posto quindi 
Per dimostrare che è effettivamente il gruppo banale allora dovrei dimostrare (rigorosamente) che quei cammini $\gamma_A$ sono GLI UNICI cammini continui chiusi in 1 diversi da quelli costanti.
Intuitivamente mi sembra ovvio ma una dimostrazione più rigorosa che controllare ogni caso come ho fatto prima (aperto, chiuso, né aperto e né chiuso...ci sono altri casi da considerare?) non la trovo.
Che dite? Potrebbe andare bene una giustificazione per casi?
Intuitivamente mi sembra ovvio ma una dimostrazione più rigorosa che controllare ogni caso come ho fatto prima (aperto, chiuso, né aperto e né chiuso...ci sono altri casi da considerare?) non la trovo.
Che dite? Potrebbe andare bene una giustificazione per casi?
secondo me si può fare rigirando un po' il tuo ragionamento, supponi che $gamma$ sia un laccio di punto base 1
$gamma:I->X$ ed è continua.
il fatto che $gamma$ è continua vuol dire che la controimmagine di un aperto è aperta, quindi se fai la controimmagine di ${1}$ ottieni un aperto $UsubI$ chiaramente $U^c$ (il complementare) è chiuso e $gamma(U^c)={2}$
quindi $gamma$ è del tipo che dicevi te.
può andare? ciao
$gamma:I->X$ ed è continua.
il fatto che $gamma$ è continua vuol dire che la controimmagine di un aperto è aperta, quindi se fai la controimmagine di ${1}$ ottieni un aperto $UsubI$ chiaramente $U^c$ (il complementare) è chiuso e $gamma(U^c)={2}$
quindi $gamma$ è del tipo che dicevi te.
può andare? ciao
Ok mi hai convinto definitivamente.
Grazie mille per avermi aiutato!
Grazie mille per avermi aiutato!
prego
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo