Gruppo elementi invertibili di un monoide:Come trovarli
Salve a tutti,
la regola dice che ogni monoide ha un sottomonoide contenente gli elementi invertibili che è anche un gruppo.
Mettiamo caso di avere il monoide $(M,+)$, sapendo che l'elemento neutro dell'addizione è $0$, gli elementi invertibili saranno del tipo $AA a,b in M a+b = 0$ Giusto? ovvero un elemento è invertibile se esiste "un inverso" che, mediante l'operazione del monoide restituisce l'elemento neutro.
Ora se parliamo di monoidi con pochi elementi, te lo fai a mente e trovi quelli invertibili. Se hai monoidi tipo di dieci elementi credo che l'unica sia segnare la tavola di composizione? Ma questo richiede un bel pò di tempo. Tra l'altro, durante un esame, la professoressa ha detto che non serve necessariamente la tavola di composizione per trovare gli elementi invertibili e che è solo una perdita di tempo.
Ora, detto questo, esiste quindi un metodo piu veloce?
Nell'esercizio infatti bisognava trovare gli elementi invertibili del monoide $(ZZ_15,*)$, come bisognava agire? Perchè stiamo parlando di 15 elementi, una tavola di composizione ti richiede 20 minuti buoni.
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
la regola dice che ogni monoide ha un sottomonoide contenente gli elementi invertibili che è anche un gruppo.
Mettiamo caso di avere il monoide $(M,+)$, sapendo che l'elemento neutro dell'addizione è $0$, gli elementi invertibili saranno del tipo $AA a,b in M a+b = 0$ Giusto? ovvero un elemento è invertibile se esiste "un inverso" che, mediante l'operazione del monoide restituisce l'elemento neutro.
Ora se parliamo di monoidi con pochi elementi, te lo fai a mente e trovi quelli invertibili. Se hai monoidi tipo di dieci elementi credo che l'unica sia segnare la tavola di composizione? Ma questo richiede un bel pò di tempo. Tra l'altro, durante un esame, la professoressa ha detto che non serve necessariamente la tavola di composizione per trovare gli elementi invertibili e che è solo una perdita di tempo.
Ora, detto questo, esiste quindi un metodo piu veloce?
Nell'esercizio infatti bisognava trovare gli elementi invertibili del monoide $(ZZ_15,*)$, come bisognava agire? Perchè stiamo parlando di 15 elementi, una tavola di composizione ti richiede 20 minuti buoni.
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
"Neptune":
Mettiamo caso di avere il monoide $(M,+)$, sapendo che l'elemento neutro dell'addizione è $0$, gli elementi invertibili saranno del tipo $AA a,b in M a+b = 0$
questa frase non ha molto senso, a mio avviso. se davvero cerchiamo l'insieme degli elementi che rispettano questa proprietà, c'è solo lo $0$
ma credo che tu abbia il concetto, l'hai solo espresso male.
gli elementi invertibili sono quegli $a in M$ tali che $EE b in M$ tale che $a+b=0$.
No in effetti non c'è bisogno della tabella! prova a pensarci: un elemento è il neutro e sarà sempre invertibile, e poi se ne trovi uno diverso dal neutro, spesso ne trovi due (lui e il suo inverso).
nel caso $(Z_15, *)$ li trovi in pochi secondi. gli invertibili sono esattamente 8 in numero, basta fare $\phi(15)=8$, la funzione di Eulero.
sono i numeri coprimi con 15:
$1$, $2$ ,$4$, $7$, $8$, $11$, $13$, $14$.
Ma questo vale con qualsiasi monoide $Z_n,*$ ? o c'è qualche restrizione?
Mentre se il monoide fosse stato aditivo?
Mentre se il monoide fosse stato aditivo?
Io ho usato questa proprietà:
in uno $ZZ_n$ ogni elemento escluso lo $0$ è: o invertibile o zero-divisore, con "o" esclusivo.
questo è vero per tutti gli anelli finiti.
quindi $\phi(n)$ ti dà proprio gli invertibili in $(ZZ_n, *)$.
cosa vuol dire additivo? domanda retorica
, intendo, la dimostrazione è da fare per un monoide in generale, quindi in maniera indipendente dal tipo di operazione, questa sugli $(ZZ_n,*)$ è un felice caso particolare.
in uno $ZZ_n$ ogni elemento escluso lo $0$ è: o invertibile o zero-divisore, con "o" esclusivo.
questo è vero per tutti gli anelli finiti.
quindi $\phi(n)$ ti dà proprio gli invertibili in $(ZZ_n, *)$.
cosa vuol dire additivo? domanda retorica
, intendo, la dimostrazione è da fare per un monoide in generale, quindi in maniera indipendente dal tipo di operazione, questa sugli $(ZZ_n,*)$ è un felice caso particolare.
Quindi se fosse stato $(ZZ_n, +)$ gli elementi invertibili sarebbero stati gli stessi?
"Neptune":
Quindi se fosse stato $(ZZ_n, +)$ gli elementi invertibili sarebbero stati gli stessi?
scusa ma in base a cosa dici questo? mi sa che dovresti rivedere i concetti di base..
pensa un attimo alle definizioni, applicale e prova a risponderti da solo.
"blackbishop13":
[quote="Neptune"]Quindi se fosse stato $(ZZ_n, +)$ gli elementi invertibili sarebbero stati gli stessi?
scusa ma in base a cosa dici questo? mi sa che dovresti rivedere i concetti di base..
pensa un attimo alle definizioni, applicale e prova a risponderti da solo.[/quote]
Benchè a me non sembra possibile che due monoidi con operazioni diverse abbiano gli stessi elementi invertibili, tu non hai detto che quella regola da te citata vale a prescindere dall'operazione?
Se non è così, con l'operazione di adizione, come si trovano ivnece gli elementi invertibili?
Ripeto: mi sembri un po confuso.
Mettiamo in chiaro le cose: esistono i monoidi, che sono strutture del tipo: insieme con operazione, e rispettano le proprietà che sai.
Punto.
se si vuole fare una dimostrazione su un monoide, deve essere indipendente dal "tipo" di operazione, proprio perchè la distinzione che facciamo tra operazioni additive e moltiplicative è solo una questione di linguaggio. è questo il senso dell'algebra, astrazione del concetto, senza restare legato a cose come "addizione" e "moltiplicazione".
poi se vogliamo trattare un monoide specifico che è $(ZZ_n,*)$ faremo delle dimostrazioni, e troveremo proprietà in questo caso particolare, che non ha legami con gli altri monoidi! Non ci sono particolari relazioni tra $(ZZ_n,+)$ e $(ZZ_n,*)$ come monoidi.
Ora cerca di concentrarti su $(ZZ_n,+)$, lascia perdere il resto. dovresti sapere che è un gruppo. ti viene in mente qualcosa riguardo gli inversi?
Mettiamo in chiaro le cose: esistono i monoidi, che sono strutture del tipo: insieme con operazione, e rispettano le proprietà che sai.
Punto.
se si vuole fare una dimostrazione su un monoide, deve essere indipendente dal "tipo" di operazione, proprio perchè la distinzione che facciamo tra operazioni additive e moltiplicative è solo una questione di linguaggio. è questo il senso dell'algebra, astrazione del concetto, senza restare legato a cose come "addizione" e "moltiplicazione".
poi se vogliamo trattare un monoide specifico che è $(ZZ_n,*)$ faremo delle dimostrazioni, e troveremo proprietà in questo caso particolare, che non ha legami con gli altri monoidi! Non ci sono particolari relazioni tra $(ZZ_n,+)$ e $(ZZ_n,*)$ come monoidi.
Ora cerca di concentrarti su $(ZZ_n,+)$, lascia perdere il resto. dovresti sapere che è un gruppo. ti viene in mente qualcosa riguardo gli inversi?
Ah, se è un gruppo allora sono tutti invertibili, no?
Mentre, con l'operazione moltiplicativa sfruttiamo semplicemente la regola che debbono essere coprimi con n?
Mentre, con l'operazione moltiplicativa sfruttiamo semplicemente la regola che debbono essere coprimi con n?
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