Gruppo diedrale di ordine 4

[lapiccolapeste1]

Sia D_4 il gruppo diedrale di ordine 4 (gruppo delle isometrie del quadrato). determinare tutti gli omomorfismi di gruppi da D_4 a Z_2

[vict85]

Idee?

[lapiccolapeste1]

D_4 è generato da <\phi, \rho> quindi è un gruppo ciclico finito di ordine 2. Per il teorema "sia (g,*) un gruppo ciclico. allora, se G è finito e ha ordine n , allora G è isomorfo a (Z_n,+)", D_4 è isomorfo a Z_2
ma nn credo che sia questa la risposta giusta

[vict85]

\(D_4\) certo non[\u] è un gruppo né ciclico né di ordine \(2\) anche se è generato da due elementi. A seconda degli autori \(D_4\) ha ordine \(4\) oppure \(8\), tu quale intenti?

[lapiccolapeste1]

ordine 8...

[vict85]

Ok, cosa sai dire sul suo sottogruppo ciclico?

[lapiccolapeste1]

si in effetti ho preso proprio un abbaglio grosso come una casa...
sto ricomponendo i pezzi

[vict85]

Quello che posso farti notare è che è normale (anzi caratteristico).

[lapiccolapeste1]

allora ho impostato tutto diversamente:

considero un generico omomorfismo $ \phi : D_4rarr Z_2 $
sappiamo che $ Ker(\phi)\subset D_4$ e $ Im (\phi)\subset Z_2 $
quindi abbiamo due casi
1°CASO $ Im (\phi)=\{ 0\}$
questo è un omomorfismo banale che manda ogni elemento di $ D_4$ in 0

2°CASO $ Im (\phi)=Z_2$
per il teorema fondamentale dell'omomorfismo
$ Z_2= Im (\phi) ≃ D_4/(Ker(\phi))$
ora devo applicare il teorema:
"sia G un gruppo e N normale in G. allora i sottogruppi del gruppo quoziente G/N sono tutti e soli quelli del tipo H/N al variare di H nell'insieme dei sottogruppi di G che contengono N"
quindi dovrei trovare tutti i sottogruppi normali di $D_4$, considerando anche il fatto che questi sottogruppi devono essere di ordine 4 perchè per il teorema di Lagrange $ker(\phi)=|D_4|/|(Z_2)|$???

[vict85]

Sai che non capisco a che cosa tu stia facendo riferimento. Il caso 1 è corretto. Il caso due si riduce semplicemente al fatto che se l'immagine è $ZZ_2$ allora il sottogruppo normale ha indice $2$. E hai un solo sottogruppo normale di indice 2.