Gruppo diedrale $D_8$ - uguaglianza con un determinato sottogruppo

[ti2012]

Buonasera a tutti. Chiedo scusa, sugli appunti c'è scritto che il gruppo diedrale $D_8$ = $<>$ |x $<>$ ossia (per definizione di prodotto semidiretto di due sottogruppi) $< , >$ è uguale al sottogruppo $< , $<$a^(-1)$b> >. Io ho utilizzato la definizione di sottogruppo generato da due sottogruppi per provare l'uguaglianza appena menzionata verificando le due "inclusioni". Però non mi trovo che il generico elemento di $< , >$ possa essere visto come un elemento di $< , $<$a^(-1)$b> >. Ho provato a ragionare anche nel pensare a $< , >$ come $< b,a >$. Ho provato poi a vedere l'insieme {b,$a^(-1)$b} contenuto in $< , >$. Però non riesco a capire perchè si ha l'uguaglianza $< , >$=$< , $<$a^(-1)$b> >. Ho sbagliato qualcosa ? Tanto cortesemente, gentilmente, potrei avere un aiuto?
Grazie, grazie, grazie mille

[ti2012]

Forse ho risolto. Ho utilizzato delle informazioni presenti nella parte di studio del gruppo diedrale $D_8$