Gruppo diedrale
Ciao a tutti,
sono qui per chiedere un chiarimento sul gruppo diedrale, in realtà è stato portato come esempio senza approfondire molto nella teoria di algebra 1 che sto seguendo. Tuttavia spiegato cosi "alla buona" con l'intento di essere approfondito in corsi successivi non riesco a vedre perché sia un gruppo.
Mi spiego sul dubbio: la cardinalità di $D_n$ è $|D_n|=n+n=2n$ dice e in particolare un n sono il numero di rotazioni possibili per il poligono regolare e n riflessioni per gli assi di simmetria di esso.
n sono i lati dell'oggetto "poligono" su cui l'elemento del gruppo agisce.
Ora, se io però compongo sue rotazioni $r*r$ che agisce su un poligono $T_n$, l'elemento $r*r$ fa in effetti parte di n+n elementi del gruppo individuati, in particolafre è l'elemento del gruppo pari a rotazione 2 "volte" (insomma in modo informale sarebbe in n+n=2+0 per intenderci, come elemento.
ma come faccio a mostrarmi che qualunque composizione di n+n isometrie mi ricade un una certa rotazione e riflessione di queste n+n date? A rigore una $r*...*r*...*s$[nota]r rotazione, s riflessione[/nota] per quanto ne so potrebbe benissimo non far parte di una dei n elementi (riflessione) o n elementi (rotazione) degli n+n visti.
Non so se ho spiegato bene il dubbio
sono qui per chiedere un chiarimento sul gruppo diedrale, in realtà è stato portato come esempio senza approfondire molto nella teoria di algebra 1 che sto seguendo. Tuttavia spiegato cosi "alla buona" con l'intento di essere approfondito in corsi successivi non riesco a vedre perché sia un gruppo.
Mi spiego sul dubbio: la cardinalità di $D_n$ è $|D_n|=n+n=2n$ dice e in particolare un n sono il numero di rotazioni possibili per il poligono regolare e n riflessioni per gli assi di simmetria di esso.
n sono i lati dell'oggetto "poligono" su cui l'elemento del gruppo agisce.
Ora, se io però compongo sue rotazioni $r*r$ che agisce su un poligono $T_n$, l'elemento $r*r$ fa in effetti parte di n+n elementi del gruppo individuati, in particolafre è l'elemento del gruppo pari a rotazione 2 "volte" (insomma in modo informale sarebbe in n+n=2+0 per intenderci, come elemento.
ma come faccio a mostrarmi che qualunque composizione di n+n isometrie mi ricade un una certa rotazione e riflessione di queste n+n date? A rigore una $r*...*r*...*s$[nota]r rotazione, s riflessione[/nota] per quanto ne so potrebbe benissimo non far parte di una dei n elementi (riflessione) o n elementi (rotazione) degli n+n visti.
Non so se ho spiegato bene il dubbio
Risposte
Se numeri i vertici dell'$n$-agono regolare da $1$ a $n$ (nel modo naturale, in senso orario) e vuoi costruire una sua isometria $f$ allora hai
$n$ scelte per $f(1)$ (può essere uno qualsiasi di $1,...,n$) e
$2$ scelte per $f(2)$ (può essere solo uno dei due vertici adiacenti a $f(1)$, perché $f$ deve preservare la distanza tra $1$ e $2$, cioè la distanza tra $1$ e $2$ è uguale alla distanza tra $f(1)$ e $f(2)$)
ma dopo aver scelto questi due punti ($f(1)$ e $f(2)$), gli altri ($f(i)$ con $i =3,4,...,n$) sono completamente determinati dal fatto che $f$ preserva le distanze (perché?). Quindi ci sono al massimo $2n$ isometrie. Siccome tu ne conosci già $2n$ , cioè quelle del gruppo diedrale, queste sono tutte e sole.
$n$ scelte per $f(1)$ (può essere uno qualsiasi di $1,...,n$) e
$2$ scelte per $f(2)$ (può essere solo uno dei due vertici adiacenti a $f(1)$, perché $f$ deve preservare la distanza tra $1$ e $2$, cioè la distanza tra $1$ e $2$ è uguale alla distanza tra $f(1)$ e $f(2)$)
ma dopo aver scelto questi due punti ($f(1)$ e $f(2)$), gli altri ($f(i)$ con $i =3,4,...,n$) sono completamente determinati dal fatto che $f$ preserva le distanze (perché?). Quindi ci sono al massimo $2n$ isometrie. Siccome tu ne conosci già $2n$ , cioè quelle del gruppo diedrale, queste sono tutte e sole.
La composizione di due riflessioni genera sempre una rotazione e la composizione di una rotazione e di una riflessione è una riflessione. Si può dimostrare formalmente in vari modi (l'algebra lineare per esempio[nota]Questo fatto è infatti vero anche per le isometrie di \(\mathbb{R}^2\) e non solo per i poligoni regolari.[/nota]).
Ringrazio per le risposte.
Ho capito quella portata da martino, ma non ho minimamente idea come dimostrarlo "sfruttando l'algebra lineare" di vict, posso chiederti un chiarimento a riguardo?
Ho capito quella portata da martino, ma non ho minimamente idea come dimostrarlo "sfruttando l'algebra lineare" di vict, posso chiederti un chiarimento a riguardo?
Di fatto mi riferisco alla caratterizzazione di \(O(2,\mathbb{R})\) puoi trovare su wiki una sua caratterizzazione.
Puoi alternativamente ragionare in termine di autovalori e autovettori.
Siccome stiamo parlando di isometrie, ogni punto della circonferenza centrata in zero è mandata nella circonferenza centrata in \(\mathbf{0}\). Sia quindi \(\mathbf{r}_{\alpha}=(\cos\alpha, \sin\alpha)\) (quindi \(\alpha\) è l'angolo tra \(\mathbf{r}_{\alpha}\) e il vettore \(\mathbf{i} = (1, 0)\)[nota]Come usuale considero l'angolo positivo in senso antiorario[/nota]). Una rotazione \(R_{\vartheta}\) di un angolo \(\vartheta\) in senso orario trasforma \(\mathbf{r}_{\alpha}\) in \(\mathbf{r}_{(\alpha-\vartheta)}\).
Una riflessione \(S_{0}\) rispetto alla retta definita dal vettore \(\mathbf{i}\), manda invece \(\mathbf{r}_{\alpha}\) in \(\mathbf{r}_{-\alpha}\). Ogni altra riflessione del piano ha la forma \(S_{\theta} = R_{-\theta}\circ S_0\circ R_{\theta}\) dove \(\theta\) è l'angolo tra la retta su cui viene fatta la riflessione e \(\mathbf{i}\) (sempre considerata in senso antiorario). In altre parole, \(S_{\alpha}\) preserva \(\mathbf{r}_{\alpha}\).
Una generica \(S_{\theta}\) manda \(\mathbf{r}_{\alpha}\) in \((R_{-\theta}\circ S_0\circ R_{\theta})\mathbf{r}_{\alpha} = (R_{-\theta}\circ S_0)\mathbf{r}_{\alpha - \vartheta} = R_{-\theta}\mathbf{r}_{-\alpha + \vartheta} = \mathbf{r}_{-\alpha +2\vartheta} \).
Se fai i calcoli, vedrai che la composizione di riflessioni \(S_{\theta}\circ S_{\rho}\) equivale alla rotazione \(R_{2(\rho - \theta)}\). Mentre la composizione di una rotazione e una riflessione \(R_{\theta}\circ S_{\rho}\) è la riflessione \(S_{\rho -\frac12\theta}\). Il calcolo è simile nel caso in cui prima ruoti e poi rifletti.
Potrei aver fatto degli errori di calcolo, ma sostanzialmente questo è quel che accade. Ovviamente se gli angoli delle rotazioni sono tutti multipli di un certo angolo (che divide 360 gradi) come nel caso delle isometrie dei poligoni regolari, puoi vedere che i risultati delle composizioni sono sempre all'interno di questi angoli.
Puoi alternativamente ragionare in termine di autovalori e autovettori.
Siccome stiamo parlando di isometrie, ogni punto della circonferenza centrata in zero è mandata nella circonferenza centrata in \(\mathbf{0}\). Sia quindi \(\mathbf{r}_{\alpha}=(\cos\alpha, \sin\alpha)\) (quindi \(\alpha\) è l'angolo tra \(\mathbf{r}_{\alpha}\) e il vettore \(\mathbf{i} = (1, 0)\)[nota]Come usuale considero l'angolo positivo in senso antiorario[/nota]). Una rotazione \(R_{\vartheta}\) di un angolo \(\vartheta\) in senso orario trasforma \(\mathbf{r}_{\alpha}\) in \(\mathbf{r}_{(\alpha-\vartheta)}\).
Una riflessione \(S_{0}\) rispetto alla retta definita dal vettore \(\mathbf{i}\), manda invece \(\mathbf{r}_{\alpha}\) in \(\mathbf{r}_{-\alpha}\). Ogni altra riflessione del piano ha la forma \(S_{\theta} = R_{-\theta}\circ S_0\circ R_{\theta}\) dove \(\theta\) è l'angolo tra la retta su cui viene fatta la riflessione e \(\mathbf{i}\) (sempre considerata in senso antiorario). In altre parole, \(S_{\alpha}\) preserva \(\mathbf{r}_{\alpha}\).
Una generica \(S_{\theta}\) manda \(\mathbf{r}_{\alpha}\) in \((R_{-\theta}\circ S_0\circ R_{\theta})\mathbf{r}_{\alpha} = (R_{-\theta}\circ S_0)\mathbf{r}_{\alpha - \vartheta} = R_{-\theta}\mathbf{r}_{-\alpha + \vartheta} = \mathbf{r}_{-\alpha +2\vartheta} \).
Se fai i calcoli, vedrai che la composizione di riflessioni \(S_{\theta}\circ S_{\rho}\) equivale alla rotazione \(R_{2(\rho - \theta)}\). Mentre la composizione di una rotazione e una riflessione \(R_{\theta}\circ S_{\rho}\) è la riflessione \(S_{\rho -\frac12\theta}\). Il calcolo è simile nel caso in cui prima ruoti e poi rifletti.
Potrei aver fatto degli errori di calcolo, ma sostanzialmente questo è quel che accade. Ovviamente se gli angoli delle rotazioni sono tutti multipli di un certo angolo (che divide 360 gradi) come nel caso delle isometrie dei poligoni regolari, puoi vedere che i risultati delle composizioni sono sempre all'interno di questi angoli.
Grazie ancora, non ci avrei mai pensato devo dire.
Ci ragiono un attimo sopra, ma l'idea l'ho capita.
Ci ragiono un attimo sopra, ma l'idea l'ho capita.
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