Gruppo di Weyl
Buongiorno,
in giro ho visto che, dato $G$ un gruppo di Lie compatto e $T$ il suo toro massimale, il gruppo di Weyl è definito come il quoziente $\frac{N(T)}{T}$, dove con $N(T)$ denoto il normalizzatore nel gruppo del toro. Come mai questa definizione coincide con quella data per le algebre di Lie di gruppo di permutazione delle radici? Immagino quindi che nel caso in cui il gruppo di Lie $G$ sia quello unitario o $GL$, allora $W$ si possa pensare come un qualche $S_{n}$ (cioè come qualche gruppo di permutazione). Qualche idea per dimostrarlo?
in giro ho visto che, dato $G$ un gruppo di Lie compatto e $T$ il suo toro massimale, il gruppo di Weyl è definito come il quoziente $\frac{N(T)}{T}$, dove con $N(T)$ denoto il normalizzatore nel gruppo del toro. Come mai questa definizione coincide con quella data per le algebre di Lie di gruppo di permutazione delle radici? Immagino quindi che nel caso in cui il gruppo di Lie $G$ sia quello unitario o $GL$, allora $W$ si possa pensare come un qualche $S_{n}$ (cioè come qualche gruppo di permutazione). Qualche idea per dimostrarlo?
Risposte
Nel caso di [tex]GL(n,\mathbb{C})[/tex] il gruppo di Weil è [tex]S_n[/tex] perché [tex]T[/tex] consiste delle matrici diagonali, quindi normalizzare [tex]T[/tex] significa semplicemente scambiare di posto gli elementi diagonali. Per avere una dimostrazione formale puoi considerare l'azione di [tex]N(T)[/tex] su [tex]\{T_1,\ldots,T_n\}[/tex] dove [tex]T_i[/tex] consiste delle matrici diagonali invertibili [tex](a_{kl})_{k,l}[/tex] tali che [tex]a_{jj}=1[/tex] per ogni [tex]j \neq i[/tex]. Il nucleo di tale azione è [tex]C_{GL_n(\mathbb{C})}(T) = T[/tex] e quindi [tex]N(T)/T[/tex] si immerge in [tex]S_n[/tex]. Per mostrare che questo è un isomorfismo puoi considerare le matrici di permutazione.
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