Gruppo di Tarski - gruppo modulare

[ti2012]

Salve a tutti. Chiedo scusa, sul materiale di studio c'è scritto che un gruppo di Tarski (ossia un gruppo infinito nel quale ogni sottogruppo proprio non banale è un sottogruppo ciclico di ordine primo) è un gruppo semplice (ossia in cui gli unici sottogruppi normali sono quelli banali) infinito modulare poichè il suo reticolo non contiene sottoreticoli pentagonali e quindi è modulare (in base ad un teorema precedente).. Dire il suo reticolo vuol dire che dobbiamo considerare il reticolo del gruppo di Tarski, però io so che un gruppo è modulare se e solo se il reticolo dei sottgruppi di tale gruppo è modulare.. Perchè invece sul materiale di studio si considera il reticolo del gruppo di tarski e non il reticolo dei sottogruppi del gruppo di tarski?
Grazie grazie mille

[Studente Anonimo]

"Il reticolo del gruppo di Tarski" è un modo alternativo per dire esattamente "il reticolo dei sottogruppi del gruppo di Tarski".

[ti2012]

Ok, grazie! Lo avevo pensato però preferivo avere una conferma da un'altra persona . Grazie mille

[otta96]

Ci deve essere qualcosa che mi sfugge, non sono tutti i gruppi modulari in quanto $ZZ$-moduli?
EDIT: Ah forse ho capito, devono essere abeliani? Esistono quindi dei gruppi non modulari?

[dan952]

Dire gruppo abeliano o Z- modulo è stessa cosa

[j18eos]

Non so quanto c'entri con la domanda posta, ma il gruppo (finito) dei quaternioni \(\displaystyle Q_8\) è un gruppo non-abeliano con soli sottogruppi abeliani... Quindi, i così detti mostri di Tarski non è detto che siano abeliani; e lo scrivo da ignorante in materia.

[ti2012]

Chiedo scusa, la dimostrazione che il reticolo dei sottogruppi del gruppo di Tarski non contiene sottoreticoli pentagonali è lunga e complessa? Qualcuno per caso potrebbe indicarmi se c'è qualche fonte da cui poter vedere la dimostrazione di quanto sopra scritto? Grazie mile

[Studente Anonimo]

Ma se tutti i sottogruppi propri non banali hanno ordine $p$ primo il reticolo è ovvio Hai il gruppo G sopra, una riga sotto che consiste di tutti i sottogruppi (tutti sulla stessa riga) e più in basso il sottogruppo {1}.

[otta96]

Scusa Martino ma da quello che hai detto, non basterebbe prendere tre sottogruppi propri diversi e poi tutto e ${e}$ per confutare l'affermazione?
Forse la dimostrazione consiste proprio nel dimostrare che un gruppo di Tarski ha a più 4 sottogruppi (forse mi sfugge qualcosa)...

[Studente Anonimo]

Non so, dipende da cosa si intende per "sottoreticolo pentagonale".

[ti2012]

Martino, non so se non ho capito bene, io non intendevo sapere perchè si tratta di un reticolo (concordo perfettamente con la tua spiegazione del perchè si tratta di un reticolo ) ma mi chiedevo perchè non contiene quei particolari sottoreticoli...
Chiedo scusa, sul materiale di studio c'è scritto che il gruppo di Tarski fa parte dei gruppi periodici modulari.. Perchè il gruppo di Tarski risulta periodico? Dalla definizione di gruppo di Tarski forse possiamo dire che i suoi sottogruppi propri non banali che hanno ordine primo sono periodici... Cosa ci assicura che tutto il gruppo di Tarski sia periodico?

[otta96]

Cosa vuol dire che un gruppo è periodico?

[ti2012]

Un gruppo è periodico se ogni suo elemento è periodico ossia se il sottogruppo generato da tale elemento è finito

[Studente Anonimo]

Se hai in testa come è fatto il reticolo del gruppo ti dovrebbe risultare chiaro che il sup di due elementi qualsiasi (diversi da 1) è uguale a G e il loro inf è uguale a {1}. Con queste informazioni verificare che il reticolo è modulare è immediato usando la definizione di reticolo modulare (clic). Chiaro che dovrai distinguere due o tre casi ma è elementare.

[otta96]

Beh, allora basta far vedere che ogni elemento ha ordine finito, prendo un elemento, considero il sottogruppo generato, se fosse proprio sarebbe di ordine primo, quindi va bene, se non fosse proprio il gruppo sarebbe (isomorfo a) $ZZ$, che non è di Tarski, quindi i gruppi di Tarski sono ciclici.
Va bene?

[otta96]

"Martino":Se hai in testa come è fatto il reticolo del gruppo ti dovrebbe risultare chiaro che il sup di due elementi qualsiasi (diversi da 1) è uguale a G e il loro inf è uguale a {1}. Con queste informazioni verificare che il reticolo è modulare è immediato usando la definizione di reticolo modulare (clic). Chiaro che dovrai distinguere due o tre casi ma è elementare.

Io stavo ragionando in termini del diagramma di Hasse e quei due teoremi che dicono "$L$ è modulare sse non contiene $N_5$" e "$L$ è distributivo sse non contiene $N_5$ o $M_3$", il problema è che nella mia testa avevo scambiato $N_5$ con $M_3$, ma ora è chiaro cosa stavi dicendo, visto che ci sono faccio notare che quello che stavo dicendo io è che se il gruppo ha almeno tre sottogruppi propri, allora non è distributivo.

[ti2012]

Grazie. Sì, sì, avevo in mente ciò per quanto riguarda la modularità.. Il mio dubbio era di dimostrare provando che il reticolo dei sottogruppi non contenesse sottoreticoli pentagonali