Gruppo di Prüfer
Sia $M={a/p^n:a,n\inZZ,n>=0}$ sottogruppo di $QQ$, si definisce il gruppo di Prüfer $ZZ(p^(oo))=M/ZZ$.
Come posso dimostrare che il gruppo $(ZZ(p^(oo)),+)$ è divisibile, ovvero che dati $x\inZZ(p^(oo))$ e $m\inZZ$ esiste $y\inZZ(p^(oo))$ tale che $x=my$?
In sostanza dovrei mostrare che $a/p^n+ZZ=m(b/p^k+ZZ)$, $EEb\inZZ$, ovvero che $a/p^n=mb/p^k$, $EEb\inZZ$...ma non sono nemmeno convinto che sia vero.
Come posso dimostrare che il gruppo $(ZZ(p^(oo)),+)$ è divisibile, ovvero che dati $x\inZZ(p^(oo))$ e $m\inZZ$ esiste $y\inZZ(p^(oo))$ tale che $x=my$?
In sostanza dovrei mostrare che $a/p^n+ZZ=m(b/p^k+ZZ)$, $EEb\inZZ$, ovvero che $a/p^n=mb/p^k$, $EEb\inZZ$...ma non sono nemmeno convinto che sia vero.
Risposte
"thedarkhero":
In sostanza dovrei mostrare che $a/p^n+ZZ=m(b/p^k+ZZ)$, $EEb\inZZ$, ovvero che $a/p^n=mb/p^k$, $EEb\inZZ$
No non devi mostrare $a/p^n=mb/p^k$, devi mostrare che $a/p^n - mb/p^k \in ZZ$ (per qualche b).
Vero.
Ho che $a/p^n-mb/p^k\inZZ$ sse $ap^k-mbp^n\inp^(n+k)ZZ$...però non mi viene in mente come ricavare $b$ e $k$ che soddisfano questa proprietà. Avevo pensato all'identità di Bezout ma senza successo.
Ho che $a/p^n-mb/p^k\inZZ$ sse $ap^k-mbp^n\inp^(n+k)ZZ$...però non mi viene in mente come ricavare $b$ e $k$ che soddisfano questa proprietà. Avevo pensato all'identità di Bezout ma senza successo.
Il minimo comune multiplo tra \(\displaystyle p^n \) e \(\displaystyle p^k \) non è \(\displaystyle p^{n+k} \), ma \(\displaystyle p^{\max(n,k)} \).
Considera il caso in cui \(\displaystyle p \) non divida \(\displaystyle m \) e poni \(\displaystyle k = n \). Allora vuoi mostrare che \(\displaystyle a - mb = p^nq \). Se lo riscrivi come \(\displaystyle qp^n + bm = a \) e usi l'ipotesi \(\displaystyle MCD(p,m) = 1 \) dovresti capire come puoi procedere in questo caso. Il caso generale è simile, devi solo capire come portarti in questo caso.
Considera il caso in cui \(\displaystyle p \) non divida \(\displaystyle m \) e poni \(\displaystyle k = n \). Allora vuoi mostrare che \(\displaystyle a - mb = p^nq \). Se lo riscrivi come \(\displaystyle qp^n + bm = a \) e usi l'ipotesi \(\displaystyle MCD(p,m) = 1 \) dovresti capire come puoi procedere in questo caso. Il caso generale è simile, devi solo capire come portarti in questo caso.
Nel caso in cui $p$ non divide $m$ si ha che $MCD(p,m)=1$, ho che $MCD(p^n,m)=1$ e quindi per l'identità di Bezout esistono $alpha,beta\inZZ$ tali che $alphap^n+betam=1$, allora $a*alpha*p^n+a*beta*m=a$. Quindi $a-a*beta*m=a*alpha*p^n$, da cui $a/p^n-m(a*beta)/p^n=a*alpha\inZZ$ (ho posto $k=n$ e $b=a*beta$).
Nel caso in cui $p$ divide $m$ si può porre $b=a*p/m$ e $k=n+1$, ottenendo che $a/p^n-mb/p^k=a/p^n-m*(a*p/m)/p^(n+1)=0\inZZ$.
Corretto?
Nel caso in cui $p$ divide $m$ si può porre $b=a*p/m$ e $k=n+1$, ottenendo che $a/p^n-mb/p^k=a/p^n-m*(a*p/m)/p^(n+1)=0\inZZ$.
Corretto?
No, nel caso in cui \(p\) divide \(m\) devi usare Bezout con \( \displaystyle\frac{m}{p^s} \) al posto di \(m\) e mettendo \(k = n + s\) nella formula finale. Dove \(s\) è tale che \(p^s|m\) e \(p^{s+1}\!\!\not|\,m\).
Hai ragione, se $p|m$ ho che $MCD(p,m/p^s)=1$, quindi $MCD(p^n,m/p^s)=1$, $1=alpha*p^n+beta*m/p^s$, $a=a*alpha*p^n+a*beta*m/p^s$, $a-a*beta*m/p^s=a*alpha*p^n$, $a/p^n-m(a*beta)/p^(s+n)=a*alpha\inZZ$.
Grazie!
Ora, considerato che il gruppo di Prüfer non è ciclico, cosa posso dire sulla ciclicità dei suoi sottogruppi propri?
Chiaramente tutti i suoi sottogruppi propri della forma $<1/p^n+ZZ>$ per qualche $n$ fissato sono sottogruppi ciclici, ma ci sono altri sottogruppi?
Grazie!
Ora, considerato che il gruppo di Prüfer non è ciclico, cosa posso dire sulla ciclicità dei suoi sottogruppi propri?
Chiaramente tutti i suoi sottogruppi propri della forma $<1/p^n+ZZ>$ per qualche $n$ fissato sono sottogruppi ciclici, ma ci sono altri sottogruppi?
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