Gruppo di permutazioni Esercizio
Salve a tutti.
Ho dei problemi con un esercizio sulle permutazioni.
Premetto che non c'ho capito moltissimo sull'argomento e vorrei cercare di capirci qualcosa prima dell'esame
Ecco l'esercizio
Sia $ (S,@ ) $ gruppo di permutazioni di 4 oggetti (ordine 24)
- Dimostrare che S4 non è un gruppo abeliano
- Descrivere tutti gli elementi del sottogruppo $ H=<{(12),(12)(34)}> $ generato da (12) e (12)(34) e calcolare l'ordine di H.
- Verificare che il sottogruppo $ H<= S4 $ soddisfa il Teorema di LaGrange e determinare l'indice $ [S4:H] $ di H in S4.
Ora, su altri esercizi più "semplici" diciamo, riuscivo a cavarmela anche perchè avevo la permutazione scritta e quindi mi destreggiavo ma qui non so proprio come fare.
Forse la penso in maniera sbagliata io, ma non riesco a capire come procedere.
Grazie a tutti
Ho dei problemi con un esercizio sulle permutazioni.
Premetto che non c'ho capito moltissimo sull'argomento e vorrei cercare di capirci qualcosa prima dell'esame
Ecco l'esercizio
Sia $ (S,@ ) $ gruppo di permutazioni di 4 oggetti (ordine 24)
- Dimostrare che S4 non è un gruppo abeliano
- Descrivere tutti gli elementi del sottogruppo $ H=<{(12),(12)(34)}> $ generato da (12) e (12)(34) e calcolare l'ordine di H.
- Verificare che il sottogruppo $ H<= S4 $ soddisfa il Teorema di LaGrange e determinare l'indice $ [S4:H] $ di H in S4.
Ora, su altri esercizi più "semplici" diciamo, riuscivo a cavarmela anche perchè avevo la permutazione scritta e quindi mi destreggiavo ma qui non so proprio come fare.
Forse la penso in maniera sbagliata io, ma non riesco a capire come procedere.
Grazie a tutti
Risposte
Ok per il primo punto, ho trovato girando un po su internet che i gruppi simmetrici Sn sono abeliani solo se n<=2 ma non sono riuscito a trovare per quale motivo quindi diciamo che è una mezza vittoria lol
Per il resto l'ultimo punto è quello più "semplice" per così dire, il vero problema per me sono gli elementi di H e l'ordine, poi con LaGrange non dovrebbe essere difficile.
Scusate il doppio post, se è un problema inglobo sul primo messaggio come EDIT
Per il resto l'ultimo punto è quello più "semplice" per così dire, il vero problema per me sono gli elementi di H e l'ordine, poi con LaGrange non dovrebbe essere difficile.
Scusate il doppio post, se è un problema inglobo sul primo messaggio come EDIT
Ti rispondo da principiante in materia quindi non prendere troppo sul serio quello che dico.
Riguardo al fatto che $S_{n}$ con $n \ge 3$ è non abeliano; tutti i gruppi di permutazione sono inscatolati uno nell'altro ${1}=S_{1} \le S_{2} \le S_{3} ...$ (in realtà ad essere precisi ogni $S_{n-1}$ è isomorfo ad un sottogruppo di $S_{n}$).
Per far vedere che un gruppo è non abeliano è sufficiente trovare due elementi che non commutano, dunque prendiamo $(1 \ 2 \ 3), (1 \ 2) \in S_{3}$ e vediamo che $(1 \ 2 \ 3)(1 \ 2)=(2 \ 3) \ne (1 \ 3)=(1 \ 2)(1 \ 2 \ 3)$, ecco che abbiamo due elementi di $S_{3}$ che non commutano. Però siccome $S_{3} \le S_{n} \forall n \ge 3$ allora ogni gruppo simmetrico su più di 3 elementi ha due elementi che non commutano. Ovviamente $S_{2}$ è abeliano siccome esiste un solo gruppo di ordine 2 a meno di isomorfismi (ed è ciclico).
Per trovare $H$ non ti resta che cominciare a scrivere la tabella di Cayley provando a fare i vari prodotti.
Riguardo al fatto che $S_{n}$ con $n \ge 3$ è non abeliano; tutti i gruppi di permutazione sono inscatolati uno nell'altro ${1}=S_{1} \le S_{2} \le S_{3} ...$ (in realtà ad essere precisi ogni $S_{n-1}$ è isomorfo ad un sottogruppo di $S_{n}$).
Per far vedere che un gruppo è non abeliano è sufficiente trovare due elementi che non commutano, dunque prendiamo $(1 \ 2 \ 3), (1 \ 2) \in S_{3}$ e vediamo che $(1 \ 2 \ 3)(1 \ 2)=(2 \ 3) \ne (1 \ 3)=(1 \ 2)(1 \ 2 \ 3)$, ecco che abbiamo due elementi di $S_{3}$ che non commutano. Però siccome $S_{3} \le S_{n} \forall n \ge 3$ allora ogni gruppo simmetrico su più di 3 elementi ha due elementi che non commutano. Ovviamente $S_{2}$ è abeliano siccome esiste un solo gruppo di ordine 2 a meno di isomorfismi (ed è ciclico).
Per trovare $H$ non ti resta che cominciare a scrivere la tabella di Cayley provando a fare i vari prodotti.
Grazie mille per la risposta 
Come suggerivi tu, l'idea del trovare gli elementi che non erano commutativi era venuta anche a me...però pensavo che andasse troppo per le lunghe visto che avrei dovuto provare diversi valori prima di trovare quelli non commutativi.
per il resto dalla spiegazione bene o male ho capito come mai se ho più di 2 elementi non è commutativo quindi grazie
Per la tabella di Cayley invece, nonostante ho provato stamattina, non sono riuscito a capire come doverla utilizzare. O meglio, ho visto come funziona ma nel mio caso non capisco come devo farla.
Supponiamo che io la faccio per {1,2,3,4}, avrò le varie composizioni che ne scaturiscono, ok.
Però poi come capisco i valori di H? Cioè come li uso (12) e (12)(34)?
(Sul libro che uso quella tabella non c'è, mi sono basato soltanto su quello che ho trovato su internet tra wiki e dispense di vari professori)
Come suggerivi tu, l'idea del trovare gli elementi che non erano commutativi era venuta anche a me...però pensavo che andasse troppo per le lunghe visto che avrei dovuto provare diversi valori prima di trovare quelli non commutativi.
per il resto dalla spiegazione bene o male ho capito come mai se ho più di 2 elementi non è commutativo quindi grazie
Per la tabella di Cayley invece, nonostante ho provato stamattina, non sono riuscito a capire come doverla utilizzare. O meglio, ho visto come funziona ma nel mio caso non capisco come devo farla.
Supponiamo che io la faccio per {1,2,3,4}, avrò le varie composizioni che ne scaturiscono, ok.
Però poi come capisco i valori di H? Cioè come li uso (12) e (12)(34)?
(Sul libro che uso quella tabella non c'è, mi sono basato soltanto su quello che ho trovato su internet tra wiki e dispense di vari professori)
Suppongo che tu conosca come funziona la notazione ciclica che si usa per rappresentare le permutazioni e il relativo prodotto tra cicli (che altro non è che la composizione tra permutazioni).
Allora, in questo caso mi sembra che la tavola di Cayley sia un po' overkill
Comunque in generale è comoda per questo tipo di esercizi perché ti assicura che non ci siano più elementi da considerare, io in questo caso ho semplicemente provato a svolgere i vari prodotti (quello sullo prima colonna per quello sulla prima riga, in generale le operazioni non sono commutative quindi devi decidere a priori che "verso" dare alla tabella). Una volta fatti i 4 prodotti di cicli ho visto che "appare" un $(3 \ 4)$, allora lo aggiungo alla tabella e vado avanti a fare i prodotti.
A questo punto la tabella è "chiusa" quindi hai finito e sai che come sono fatti tutti gli elementi di $H$. Ti ripeto che stare a fare la tabella è abbastanza noioso e esagerato in questo caso però questo algoritmo ti assicura di trovare tutti gli elementi quindi se sei in dubbio o qualcosa non ti torna conviene sempre provare a farla.
| $*$ | $id$ | $(1 \ 2)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ |
| $id$ | $(1 \ 2)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ | $(1 \ 2)$ |
| $id$ | $(3 \ 4)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ |
Allora, in questo caso mi sembra che la tavola di Cayley sia un po' overkill
Comunque in generale è comoda per questo tipo di esercizi perché ti assicura che non ci siano più elementi da considerare, io in questo caso ho semplicemente provato a svolgere i vari prodotti (quello sullo prima colonna per quello sulla prima riga, in generale le operazioni non sono commutative quindi devi decidere a priori che "verso" dare alla tabella). Una volta fatti i 4 prodotti di cicli ho visto che "appare" un $(3 \ 4)$, allora lo aggiungo alla tabella e vado avanti a fare i prodotti.
| $*$ | $id$ | $(1 \ 2)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ | $(3 \ 4)$ |
| $id$ | $(1 \ 2)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ | $(3 \ 4)$ | $(1 \ 2)$ |
| $id$ | $(3 \ 4)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ |
| $id$ | $(1\ 2)$ | $(3 \ 4)$ | $(3 \ 4)$ | $(1 \ 2)(3 \ 4)$ |
A questo punto la tabella è "chiusa" quindi hai finito e sai che come sono fatti tutti gli elementi di $H$. Ti ripeto che stare a fare la tabella è abbastanza noioso e esagerato in questo caso però questo algoritmo ti assicura di trovare tutti gli elementi quindi se sei in dubbio o qualcosa non ti torna conviene sempre provare a farla.
OK grazie ancora per la risposta e l'aiuto in primis
Quindi in sostanza con la tabella mi trovo i vari "cicli" o composizioni di cicli che mi compongono H se non ho capito male. Poi andandoli ad aprire per così dire, dovrei trovare i vari elementi no?
In questo caso, in pratica, mancava il (34) che non figurava quindi alla fine H avrebbe 4 (?) elementi, che dovrebbero essere poi "tradotti" dalla forma di cicli a quella di elementi, in questo caso di S4 giusto?
Oppure devo considerare tutti gli elementi che sono risultati dalle operazioni della tabella? Però poi lì avrei più elementi uguali tra loro?
Magari è molto più facile di quanto lo faccio sembrare ma a volte mi faccio venire dubbi che non servono ^^"
Quindi in sostanza con la tabella mi trovo i vari "cicli" o composizioni di cicli che mi compongono H se non ho capito male. Poi andandoli ad aprire per così dire, dovrei trovare i vari elementi no?
In questo caso, in pratica, mancava il (34) che non figurava quindi alla fine H avrebbe 4 (?) elementi, che dovrebbero essere poi "tradotti" dalla forma di cicli a quella di elementi, in questo caso di S4 giusto?
Oppure devo considerare tutti gli elementi che sono risultati dalle operazioni della tabella? Però poi lì avrei più elementi uguali tra loro?
Magari è molto più facile di quanto lo faccio sembrare ma a volte mi faccio venire dubbi che non servono ^^"
"Hidenori43":
Quindi in sostanza con la tabella mi trovo i vari "cicli" o composizioni di cicli che mi compongono H se non ho capito male. Poi andandoli ad aprire per così dire, dovrei trovare i vari elementi no?
Non credo di capire bene cosa intendi, non è che li apri nel senso che li separi, per esempio il gruppo generato da $(1 \ 2)(3 \ 4)$( e basta) non ha come elementi né $(1 \ 2)$ né $(3 \ 4)$.
"Hidenori43":
In questo caso, in pratica, mancava il (34) che non figurava quindi alla fine H avrebbe 4 (?)
elementi
Esattamente, togli pure il punto di domanda. (e pure ovviamente, ma quella c'è sempre)
"Hidenori43":
che dovrebbero essere poi "tradotti" dalla forma di cicli a quella di elementi, in questo caso di S4 giusto?
Non credo di capire bene cosa intendi, $S_{n}$ è un gruppo i cui elementi sono permutazioni (quindi funzioni biettive), per questioni di comodità si usa la notazione ciclica per rappresentare queste permutazioni. Si tratta proprio di un isomorfismo, la composizione di permutazioni equivale al prodotto di cicli. Quindi lavorare con i cicli è esattamente la stessa cosa che lavorare con le permutazioni (solo che così è più comodo).
Quindi io non ritradurrei gli elementi dalla forma ciclica a quella di permutazione, però non è niente di che eh
"Hidenori43":
Oppure devo considerare tutti gli elementi che sono risultati dalle operazioni della tabella? Però poi lì avrei più elementi uguali tra loro?
Devi considerare quelli diversi, il fatto che ci siano elementi diversi che hanno come prodotto lo stesso è normalissimo, inoltre come dicevamo all'inizio del topic visto che il nostro $H$ ha 4 elementi sappiamo che è per forza abeliano, quindi sappiamo anche che dobbiamo aspettarci una tabella simmetrica.
Ti ripeto che sono abbastanza nuovo in questo ambiente, quindi magari qualcun'altro potrà spiegarti con più precisione quello che ti ho scritto.
"Hidenori43":
Magari è molto più facile di quanto lo faccio sembrare ma a volte mi faccio venire dubbi che non servono ^^"
Non è niente di difficile ma all'inizio è facile confondersi, cerca di capire bene in cosa consiste la riscrittura delle permutazioni in notazione ciclica e di provare ad effettuare prodotto tra cicli e composizione tra le rispettive permutazioni. Fai un po' di esperimenti e diventerà tutto più chiaro.
Grazie mille ancora
Si in sostanza con "aprirli" e "tradurli", intendevo appunto di metterli in forma di permutazione invece che di cicli, solo che non sapevo come dirlo comunque ho capito che alla fine non cambia da una forma all'altra quindi ok.
Per il resto ho capito; la tabella simmetrica l'avevo notata anche io e pensavo appunto fosse abeliano per quello e infatti sia tu che internet me lo avete confermato
Alla fine quello che non capivo io era apparte l'uso della tabella in se, appunto quali valori mi costituivano il sottogruppo, se erano quelli all'interno della tabella oppure quelli che si usavano per fare le varie composizioni.
Se ho capito bene quindi, ad esempio, se io avessi avuto, invece di due elementi, come in questo caso che mi generano il sottospazio, ma tipo uno soltanto, ad esempio (123), allora facendo la tabella, ̶H̶ ̶a̶v̶r̶e̶b̶b̶e̶ ̶a̶v̶u̶t̶o̶ ̶s̶o̶l̶o̶ ̶2̶ ̶e̶l̶e̶m̶e̶n̶t̶i̶,̶ ̶i̶d̶ ̶e̶ ̶(̶1̶2̶3̶)̶,̶ ̶i̶n̶ ̶q̶u̶a̶n̶t̶o̶ ̶n̶e̶l̶l̶a̶ ̶t̶a̶b̶e̶l̶l̶a̶ ̶s̶a̶r̶e̶b̶b̶e̶r̶o̶ ̶f̶i̶g̶u̶r̶a̶t̶i̶ ̶s̶o̶l̶t̶a̶n̶t̶o̶ ̶i̶ ̶p̶r̶o̶d̶o̶t̶t̶i̶ ̶t̶r̶a̶ ̶i̶d̶ ̶e̶ ̶(̶1̶2̶3̶)̶ ̶e̶ ̶(̶1̶2̶3̶)̶ ̶e̶ ̶s̶e̶ ̶s̶t̶e̶s̶s̶o̶ ̶g̶i̶u̶s̶t̶o̶?̶
H avrebbe avuto 3 elementi visto che (123)(123)=(312) e poi dalla tabella risultante non uscivano fuori altrri termini diversi da quelli che già avevo giusto?
Poi ultima domanda, anzi meglio precisazione, per l'ordine; l'ordine del sottogruppo è il semplice numero di elementi, non devo mettermi a calcolare l'ordine delle permutazioni con l'm.c.m., quello non c'entra nulla giusto?
Scusami se non metto le citazioni o le tabelle, ma di solito uso la risposta rapida e quindi non mi metto ad editare tutto quanto ^^" Spero solo si capisca comunque.
E non preoccuparti per la spiegazione, si capisce quello che intendi e mi stai aiutando non poco
Si in sostanza con "aprirli" e "tradurli", intendevo appunto di metterli in forma di permutazione invece che di cicli, solo che non sapevo come dirlo
comunque ho capito che alla fine non cambia da una forma all'altra quindi ok.Per il resto ho capito; la tabella simmetrica l'avevo notata anche io e pensavo appunto fosse abeliano per quello e infatti sia tu che internet me lo avete confermato
Alla fine quello che non capivo io era apparte l'uso della tabella in se, appunto quali valori mi costituivano il sottogruppo, se erano quelli all'interno della tabella oppure quelli che si usavano per fare le varie composizioni.
Se ho capito bene quindi, ad esempio, se io avessi avuto, invece di due elementi, come in questo caso che mi generano il sottospazio, ma tipo uno soltanto, ad esempio (123), allora facendo la tabella, ̶H̶ ̶a̶v̶r̶e̶b̶b̶e̶ ̶a̶v̶u̶t̶o̶ ̶s̶o̶l̶o̶ ̶2̶ ̶e̶l̶e̶m̶e̶n̶t̶i̶,̶ ̶i̶d̶ ̶e̶ ̶(̶1̶2̶3̶)̶,̶ ̶i̶n̶ ̶q̶u̶a̶n̶t̶o̶ ̶n̶e̶l̶l̶a̶ ̶t̶a̶b̶e̶l̶l̶a̶ ̶s̶a̶r̶e̶b̶b̶e̶r̶o̶ ̶f̶i̶g̶u̶r̶a̶t̶i̶ ̶s̶o̶l̶t̶a̶n̶t̶o̶ ̶i̶ ̶p̶r̶o̶d̶o̶t̶t̶i̶ ̶t̶r̶a̶ ̶i̶d̶ ̶e̶ ̶(̶1̶2̶3̶)̶ ̶e̶ ̶(̶1̶2̶3̶)̶ ̶e̶ ̶s̶e̶ ̶s̶t̶e̶s̶s̶o̶ ̶g̶i̶u̶s̶t̶o̶?̶
H avrebbe avuto 3 elementi visto che (123)(123)=(312) e poi dalla tabella risultante non uscivano fuori altrri termini diversi da quelli che già avevo giusto?
Poi ultima domanda, anzi meglio precisazione, per l'ordine; l'ordine del sottogruppo è il semplice numero di elementi, non devo mettermi a calcolare l'ordine delle permutazioni con l'm.c.m., quello non c'entra nulla giusto?
Scusami se non metto le citazioni o le tabelle, ma di solito uso la risposta rapida e quindi non mi metto ad editare tutto quanto ^^" Spero solo si capisca comunque.
E non preoccuparti per la spiegazione, si capisce quello che intendi e mi stai aiutando non poco
"Hidenori43":
Alla fine quello che non capivo io era apparte l'uso della tabella in se, appunto quali valori mi costituivano il sottogruppo, se erano quelli all'interno della tabella oppure quelli che si usavano per fare le varie composizioni.
Se ho capito bene quindi, ad esempio, se io avessi avuto, invece di due elementi, come in questo caso che mi generano il sottospazio, ma tipo uno soltanto, ad esempio (123), allora facendo la tabella, ̶H̶ ̶a̶v̶r̶e̶b̶b̶e̶ ̶a̶v̶u̶t̶o̶ ̶s̶o̶l̶o̶ ̶2̶ ̶e̶l̶e̶m̶e̶n̶t̶i̶,̶ ̶i̶d̶ ̶e̶ ̶(̶1̶2̶3̶)̶,̶ ̶i̶n̶ ̶q̶u̶a̶n̶t̶o̶ ̶n̶e̶l̶l̶a̶ ̶t̶a̶b̶e̶l̶l̶a̶ ̶s̶a̶r̶e̶b̶b̶e̶r̶o̶ ̶f̶i̶g̶u̶r̶a̶t̶i̶ ̶s̶o̶l̶t̶a̶n̶t̶o̶ ̶i̶ ̶p̶r̶o̶d̶o̶t̶t̶i̶ ̶t̶r̶a̶ ̶i̶d̶ ̶e̶ ̶(̶1̶2̶3̶)̶ ̶e̶ ̶(̶1̶2̶3̶)̶ ̶e̶ ̶s̶e̶ ̶s̶t̶e̶s̶s̶o̶ ̶g̶i̶u̶s̶t̶o̶?̶
H avrebbe avuto 3 elementi visto che (123)(123)=(312) e poi dalla tabella risultante non uscivano fuori altrri termini diversi da quelli che già avevo giusto?
Esattamente, $<(1 \ 2 \ 3)> = {id, (1 \ 2 \ 3), (1 \ 3 \ 2)}$
In questo caso specifico tu cerchi gli elementi di un gruppo generato da un solo elemento, ossia un gruppo ciclico. Quindi in questo caso è davvero superfluo fare la tabella, ti basta calcolare le varie potenze di $(1 \ 2 \ 3)$.
Una cosa che potrebbe essere utile ricordarsi in questi casi è che l'ordine di una permutazione è il minimo comune multiplo degli ordini dei cicli in cui scomponi la permutazione (a patto che i cicli siano disgiunti, mi raccomando).
"Hidenori43":
Poi ultima domanda, anzi meglio precisazione, per l'ordine; l'ordine del sottogruppo è il semplice numero di elementi, non devo mettermi a calcolare l'ordine delle permutazioni con l'm.c.m., quello non c'entra nulla giusto?
L'ordine di un gruppo è la cardinalità dell'insieme, l'ordine di un elemento è un'altra cosa. Però come dicevo prima se hai un gruppo generato da un solo elemento allora l'ordine del gruppo è uguale all'ordine di quell'elemento.
"Hidenori43":
E non preoccuparti per la spiegazione, si capisce quello che intendi e mi stai aiutando non poco
Mi fa piacere, ma non prendere per oro colato tutto quello che dico.
Perfetto. Ci sono !
Grazie mille per l'aiuto Mi hai aiuitato davvero tanto
P.S. Comunque nell'ultimo messaggio ti sei sbagliato a scrivere uno degli elementi, penso per la fretta
Grazie mille per l'aiuto
Mi hai aiuitato davvero tanto P.S. Comunque nell'ultimo messaggio ti sei sbagliato a scrivere uno degli elementi, penso per la fretta
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