Gruppo di ordine 3993
Esiste un gruppo di ordine $3 \times 11^3$ che non sia abeliano (i.e. il cui 3-Sylow non sia unico)?
Risposte
Il prodotto intrecciato regolare di [tex]$\mathbb{Z}_{11}$[/tex] con [tex]$\mathbb{Z}_3$[/tex] è un gruppo di tale ordine che non dovrebbe essere abeliano!
EDIT: Eccoti dove puoi apprendere il prodotto intrecciato!
EDIT: Eccoti dove puoi apprendere il prodotto intrecciato!
Per prodotto intrecciato si intende il prodotto semidiretto?!
No, il prodotto intrecciato di gruppi utilizza il prodotto semidiretto di gruppi come puoi leggere nel link che ho indicato!
Uhm...si ho dato uno sguardo, perchè non mi era ben chiaro il concetto da te esposto prima, cioè utilizzando $ZZ_11,ZZ_3$ con questo prodotto intrecciato ottengo un gruppo di ordine 3993...mi puoi spiegare meglio?!
E' una mia curiosità....grazie
E' una mia curiosità....grazie
Sempre in quel link, esattamente qui, trovi la formula che ti permette di calcolare l'ordine di un gruppo finito prodotto intrecciato di gruppi finiti!
Secondo le notazioni di essa: [tex]$A=\mathbb{Z}_{11};\,H=\Omega=\mathbb{Z}_3$[/tex]!
Secondo le notazioni di essa: [tex]$A=\mathbb{Z}_{11};\,H=\Omega=\mathbb{Z}_3$[/tex]!
Sapresti darmi la presentazione di quel gruppo? 
No, conosco solo di nome le presentazioni dei gruppi! 
Ho scoperto che [tex]C_{121} \rtimes C_{11}[/tex] è di ordine $11^3$ e non è abeliano. Poi basta fare un prodotto diretto con $C_3$, e dovremmo essere a posto...
Rispetto a quale azione di [tex]$C_{121}$[/tex] su [tex]$C_{11}$[/tex]? Una volta specificato sei apposto in quanto i sottogruppi di un gruppo abeliano sono abeliani; avendone uno non abeliano...
Farei così: prendo $C_{11^3}$, all'interno di lui scelgo un sottogruppo di ordine $11$ (B) ed uno di ordine $121$ (A), la cui intersezione sia banale. Ora, il sottogruppo di ordine 121 è normale. Costruisco il gruppo prodotto semidiretto come quello delle coppie $(a,b)$, $a \in A$, $b \in B$, dove l'operazione è: $(a,b)*(c,d):=(ab^{-1}cb,bd)$. Dovrebbe essere questo (scusa, ma non sono abituato a parlare in termini di azioni... se tu hai un linguaggio diverso per esprimere la stessa cosa, dimmi come si fa 
)
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Facendo così hai un sottogruppo di [tex]$C_{11^3}$[/tex]; ammesso che tu possa fare il prodotto semidiretto da te descritto!
EDIT: No, non puoi per il teorema inverso forte di Lagrange (che m'ero dimenticato
); come si può leggere nel post successivo di Martino.
Per capire il mio linguaggio vai qui!
EDIT: No, non puoi per il teorema inverso forte di Lagrange (che m'ero dimenticato
); come si può leggere nel post successivo di Martino.Per capire il mio linguaggio vai qui!
"doppio":I sottogruppi A e B di cui parli non possono avere intersezione banale.
Farei così: prendo $C_{11^3}$, all'interno di lui scelgo un sottogruppo di ordine $11$ (B) ed uno di ordine $121$ (A), la cui intersezione sia banale.
Ricorda che se G e' un gruppo ciclico finito e H, K sono due suoi sottogruppi, H e' contenuto in K se e solo se l'ordine di H divide l'ordine di K.
Naturalmente questo non e' assolutamente vero se G non e' ciclico.
Ora capisci che se in [tex]C_{11^3}[/tex] prendi un sottogruppo di ordine 11 e uno di ordine 121, il primo deve essere contenuto nel secondo, quindi non c'e' la minima speranza che tali due sottogruppi abbiano intersezione banale.
Hai ragione. Quindi come posso costruire quel gruppo?
"doppio":Te l'ha spiegato egregiamente j18eos.
Hai ragione. Quindi come posso costruire quel gruppo?
Scusate...
"Martino":
Te l'ha spiegato egregiamente j18eos.
Un pò troppo come avverbio di modo! @doppio: Prego, di nulla! Non c'è bisogno di scuse.
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