Gruppo di ordine 28 e sottogruppo normale di ordine 4
Dimostrare che, se un gruppo $G$ di ordine 28 ha un sottogruppo normale $N$ di ordine $4$, allora $G$ è abeliano.
Allora, io ho cominciato con l'osservare che $G/N$ è ciclico poiche ha ordine $7$ che è primo. Ciò significa che, se $xN$ è il generatore di $G/N$, ogni laterale di $N$ in $G$ è della forma $x^{\alpha}N$ con $0<=\alpha<=6$ e quindi ogni elemento $g\inG$ è della forma $g=x^{\alpha}n$ con $0<=\alpha<=6$ , $n\inN$.
Se riuscissi a dimostrare che gli elementi di $N$ commutano con $x$ avrei finito, ma non so quanto possa essere vero... Come concludo?? Grazie...
Allora, io ho cominciato con l'osservare che $G/N$ è ciclico poiche ha ordine $7$ che è primo. Ciò significa che, se $xN$ è il generatore di $G/N$, ogni laterale di $N$ in $G$ è della forma $x^{\alpha}N$ con $0<=\alpha<=6$ e quindi ogni elemento $g\inG$ è della forma $g=x^{\alpha}n$ con $0<=\alpha<=6$ , $n\inN$.
Se riuscissi a dimostrare che gli elementi di $N$ commutano con $x$ avrei finito, ma non so quanto possa essere vero... Come concludo?? Grazie...
Risposte
Sperando di non dire sciocchezze... $x \notin N$ è un elemento di ordine 7 quindi $ \cap N ={0}$ e poi $G= $ e inoltre ogni elemento di $G$ si esprime in un unico modo come prodotto di una potenza di $x$ e di un elemento di $N$ (questo è necessariamente vero perchè ci sono 28 elemento distinti e $7 xx 4 = 28$). Ne abbiamo abbastanza per affermare che $G= xx N$ (prodotto diretto interno). In particolare da questa osservazione segue che ogni elemento di $$ è permutabile con ogni elemento di $N$ che è quello che ti serve per completare la dimostrazione.
P.S. Se impari i teoremi di Sylow questo esercizio diventa ancora più facile.
P.S. Se impari i teoremi di Sylow questo esercizio diventa ancora più facile.
No perplesso, il tuo ragionamento ti permette di dire che [tex]G = \langle x \rangle \ltimes N[/tex] (prodotto semidiretto), per vedere che questo prodotto è in realtà diretto ti manca un argomento per dimostrare che l'unica azione per automorfismi di [tex]\langle x \rangle[/tex] su [tex]N[/tex] è quella banale. Se non vuoi usare i teoremi di Sylow (che implicano immediatamente che [tex]\langle x \rangle \unlhd G[/tex] e quindi il risultato) questo può essere fatto per esempio determinando (l'ordine di) [tex]\text{Aut}(N)[/tex].
Ops chiedo scusa, spero di non aver confuso ancora di più ale.b
Allora, dovrei aver risolto il problema in modo un po' diverso...
Per provare la tesi mi è sufficiente provare che un gruppo $G$ di ordine 28 ammette un sottogruppo normale di ordine $7$.
Vediamo un po'...
Per il teorema di Cauchy esiste in $G$ un elemento $x$ di ordine $7$ e quindi $$ è un sottogruppo di $G$ di ordine $7$.
Poichè $\simC_7$, esso ha $\phi(7)=6$ generatori. Quindi ho trovato in $G$ $6$ elementi di ordine $7$.
Si supponga ora per assurdo che in $G$ esista un elemento $y$ di ordine $7$ distinto dai $6$ trovati precedentemente; allora $\cap\={id}$ e quindi, per quanto detto precedentemente, ho determinato altri 6 elementi di ordine $6$ in $G$.
Ora, sempre dal teorema di Cauchy, gli elementi di ordine $7$ in $G$ sono in numero $\equiv 6 mod 7$ e poichè $12\equiv 5 mod 7$, c'è almeno un altro elemento $z\inG$ di ordine $7$. Determino così automaticamente altri $6$ elementi di ordine $7$ (tutti i generatori di $$) e in totale ne ho $18$.
Ancora, $18\equiv 4 mod 7$ e quindi determino almeno altri $6$ elementi di ordine $7$ distinti dai precedenti e in totale ne ho $24$, ma $24\equiv 3 mod 7$. Posso quindi determinare altri $6$ elementi di ordine $7$ in $G$ distinti dai precedenti, arrivando a quota $30$. Assurdo poichè $|G|=28$.
Poichè ogni gruppo di ordine $7$ è ciclico, ho dimostrato che $G$ ammette un unico sottogruppo di ordine $7$. Esso è allora caratteristico, e quindi normale.
So che è tutto molto contorto e con i teoremi di Sylow bastavano 2 righe, però mi interessava usare meno teoria possibile!
Comunque... secondo voi funziona?
Per provare la tesi mi è sufficiente provare che un gruppo $G$ di ordine 28 ammette un sottogruppo normale di ordine $7$.
Vediamo un po'...
Per il teorema di Cauchy esiste in $G$ un elemento $x$ di ordine $7$ e quindi $
Poichè $
Si supponga ora per assurdo che in $G$ esista un elemento $y$ di ordine $7$ distinto dai $6$ trovati precedentemente; allora $
Ora, sempre dal teorema di Cauchy, gli elementi di ordine $7$ in $G$ sono in numero $\equiv 6 mod 7$ e poichè $12\equiv 5 mod 7$, c'è almeno un altro elemento $z\inG$ di ordine $7$. Determino così automaticamente altri $6$ elementi di ordine $7$ (tutti i generatori di $
Ancora, $18\equiv 4 mod 7$ e quindi determino almeno altri $6$ elementi di ordine $7$ distinti dai precedenti e in totale ne ho $24$, ma $24\equiv 3 mod 7$. Posso quindi determinare altri $6$ elementi di ordine $7$ in $G$ distinti dai precedenti, arrivando a quota $30$. Assurdo poichè $|G|=28$.
Poichè ogni gruppo di ordine $7$ è ciclico, ho dimostrato che $G$ ammette un unico sottogruppo di ordine $7$. Esso è allora caratteristico, e quindi normale.
So che è tutto molto contorto e con i teoremi di Sylow bastavano 2 righe, però mi interessava usare meno teoria possibile!
Comunque... secondo voi funziona?
"ale.b":No, falso (per esempio [tex]C_7 \times C_7[/tex] ne ha 48), sono in numero un multiplo di [tex]6[/tex].
Ora, sempre dal teorema di Cauchy, gli elementi di ordine $7$ in $G$ sono in numero $\equiv 6 mod 7$
[MODIFICO: In realtà è vero, cf. sotto]
ma $48 \equiv 6 mod 7$!!
Hai ragione, mi sono sbagliato. Questa affermazione:
"ale.b":è vera ma non mi sembra che tu l'abbia giustificata a dovere. O forse sono io che non vedo come segua facilmente dal teorema di Cauchy, in tal caso mi scuso.
gli elementi di ordine $7$ in $G$ sono in numero $\equiv 6 mod 7$
Hai ragione!!
Il fatto è che l'unica dimostrazione del teorema di Cauchy che conosco è quella che, dato un gruppo $G$ tale che $p$ (primo) divida la sua cardinalità, utilizza l'azione del gruppo
$C_p={1,\rho,...,\rho^{p-1}}$
sull'insieme
$X={(g_1,...,g_p)\inG^{p} : g_1...g_p=1}$
data da
$\rho.(g_1,g_2,g_3,...,g_{p-1},g_p)=(g_2,g_3,...,g_{p-1},g_p,g_1)$
Consiste nel far vedere che $X$ si decompone in unione disgiunta di orbite ognuna delle quali può contenere $1$ elemento oppure $p$ elementi. Si fa vedere che ad ogni orbita che contiene un solo elemento corrisponde un $g\inG$ tale che $g^{p}=1$ e, poichè $|X|=|G|^{p-1}$ è multiplo di $p$, le orbite che contengono un elemento devono essere in numero multiplo di $p$.
Ora, una di tali orbite corrisponde all'identità, tutte le altre (per la primalità di $p$) ad elementi di ordine $p$. Per questo il numero di elementi di ordine $p$ in $G$ è $\equiv -1 mod p$.
Non so se sono stato abbastanza chiaro... Ti torna?
Il fatto è che l'unica dimostrazione del teorema di Cauchy che conosco è quella che, dato un gruppo $G$ tale che $p$ (primo) divida la sua cardinalità, utilizza l'azione del gruppo
$C_p={1,\rho,...,\rho^{p-1}}$
sull'insieme
$X={(g_1,...,g_p)\inG^{p} : g_1...g_p=1}$
data da
$\rho.(g_1,g_2,g_3,...,g_{p-1},g_p)=(g_2,g_3,...,g_{p-1},g_p,g_1)$
Consiste nel far vedere che $X$ si decompone in unione disgiunta di orbite ognuna delle quali può contenere $1$ elemento oppure $p$ elementi. Si fa vedere che ad ogni orbita che contiene un solo elemento corrisponde un $g\inG$ tale che $g^{p}=1$ e, poichè $|X|=|G|^{p-1}$ è multiplo di $p$, le orbite che contengono un elemento devono essere in numero multiplo di $p$.
Ora, una di tali orbite corrisponde all'identità, tutte le altre (per la primalità di $p$) ad elementi di ordine $p$. Per questo il numero di elementi di ordine $p$ in $G$ è $\equiv -1 mod p$.
Non so se sono stato abbastanza chiaro... Ti torna?
Sì, mi torna, ma secondo me il punto è questo: l'argomento che hai usato, opportunamente adattato, dimostra pure che il numero di [tex]p[/tex]-Sylow è congruo a [tex]1[/tex] modulo [tex]p[/tex], insomma non lo chiamerei elementare!
Considera infatti un [tex]p[/tex]-Sylow [tex]P[/tex], e chiama [tex]\Omega[/tex] l'insieme dei [tex]p[/tex]-Sylow. Se una [tex]P[/tex]-orbita di [tex]\Omega[/tex] ha un solo elemento significa che [tex]P[/tex] normalizza un [tex]p[/tex]-Sylow [tex]Q[/tex] ma allora [tex]PQ \leq G[/tex] e per massimalità dev'essere [tex]PQ=P[/tex] cioè [tex]P=Q[/tex], quindi tutte le [tex]P[/tex]-orbite diverse da [tex]\{P\}[/tex] hanno ordine maggiore di 1 e che divide [tex]|P|[/tex] e quindi [tex]|\Omega| \equiv 1 \mod(p)[/tex].
Lo stesso identico argomento mostra che [tex]P^G[/tex] (la [tex]G[/tex]-orbita di [tex]P[/tex]) ha un numero di elementi congruo a [tex]1[/tex] modulo [tex]p[/tex] e quindi [tex]\Omega - P^G[/tex] è vuoto (se contenesse un [tex]Q[/tex] allora in [tex]P^G[/tex] non esisterebbero [tex]Q[/tex]-orbite con un solo elemento, assurdo), in altre parole [tex]\Omega = P^G[/tex], cioè tutti i [tex]p[/tex]-Sylow sono coniugati.
Considera infatti un [tex]p[/tex]-Sylow [tex]P[/tex], e chiama [tex]\Omega[/tex] l'insieme dei [tex]p[/tex]-Sylow. Se una [tex]P[/tex]-orbita di [tex]\Omega[/tex] ha un solo elemento significa che [tex]P[/tex] normalizza un [tex]p[/tex]-Sylow [tex]Q[/tex] ma allora [tex]PQ \leq G[/tex] e per massimalità dev'essere [tex]PQ=P[/tex] cioè [tex]P=Q[/tex], quindi tutte le [tex]P[/tex]-orbite diverse da [tex]\{P\}[/tex] hanno ordine maggiore di 1 e che divide [tex]|P|[/tex] e quindi [tex]|\Omega| \equiv 1 \mod(p)[/tex].
Lo stesso identico argomento mostra che [tex]P^G[/tex] (la [tex]G[/tex]-orbita di [tex]P[/tex]) ha un numero di elementi congruo a [tex]1[/tex] modulo [tex]p[/tex] e quindi [tex]\Omega - P^G[/tex] è vuoto (se contenesse un [tex]Q[/tex] allora in [tex]P^G[/tex] non esisterebbero [tex]Q[/tex]-orbite con un solo elemento, assurdo), in altre parole [tex]\Omega = P^G[/tex], cioè tutti i [tex]p[/tex]-Sylow sono coniugati.
In pratica vuoi dirmi che, se devo dimostrarlo così, tanto vale utilizzare Sylow?? 
Il fatto è che, applicati a questo caso particolare, il teorema di Sylow dice esattamente quello che dice il tuo teorema di Cauchy. Infatti detto [tex]k[/tex] il numero di sottogruppi di ordine [tex]7[/tex] il tuo teorema di Cauchy dice che esiste [tex]h[/tex] tale che [tex]6k = 7h+6[/tex], da cui [tex]6|h[/tex] e [tex]k = 7 (h/6) + 1 \equiv 1 \mod(7)[/tex].
Ti propongo due procedimenti con le azioni, il primo elementare, il secondo un po' meno.
Chiama [tex]H[/tex] un sottogruppo di [tex]G[/tex] di ordine [tex]7[/tex]. Siccome [tex]G = \langle H,N \rangle[/tex], per concludere basta mostrare che [tex]hn=nh[/tex] per ogni [tex]h \in H,n \in N[/tex], in altre parole basta mostrare che l'azione di coniugio di [tex]H[/tex] su [tex]N[/tex] (che è ben definita proprio perché [tex]N \unlhd G[/tex] !) è quella banale.
(1) Le orbite di questa azione hanno cardinalità che divide [tex]|H|=7[/tex], quindi siccome [tex]4 < 7[/tex] hanno cardinalità [tex]1[/tex].
(2) L'azione di coniugio dà un omomorfismo [tex]H \to \text{Aut}(N)[/tex]. Per mostrare che manda tutto in [tex]1[/tex] (cioè quello che vogliamo) basta mostrare che [tex]|H|[/tex] e [tex]|\text{Aut}(N)|[/tex] sono coprimi. Ci sono due possibilità: se [tex]N \cong C_4[/tex] allora [tex]\text{Aut}(N) \cong C_2[/tex], se [tex]N \cong C_2 \times C_2[/tex] allora [tex]\text{Aut}(N) \cong GL(2,2) \cong S_3[/tex].
Il secondo procedimento non è inutilmente complicato: si presta a generalizzazioni.
Ti propongo due procedimenti con le azioni, il primo elementare, il secondo un po' meno.
Chiama [tex]H[/tex] un sottogruppo di [tex]G[/tex] di ordine [tex]7[/tex]. Siccome [tex]G = \langle H,N \rangle[/tex], per concludere basta mostrare che [tex]hn=nh[/tex] per ogni [tex]h \in H,n \in N[/tex], in altre parole basta mostrare che l'azione di coniugio di [tex]H[/tex] su [tex]N[/tex] (che è ben definita proprio perché [tex]N \unlhd G[/tex] !) è quella banale.
(1) Le orbite di questa azione hanno cardinalità che divide [tex]|H|=7[/tex], quindi siccome [tex]4 < 7[/tex] hanno cardinalità [tex]1[/tex].
(2) L'azione di coniugio dà un omomorfismo [tex]H \to \text{Aut}(N)[/tex]. Per mostrare che manda tutto in [tex]1[/tex] (cioè quello che vogliamo) basta mostrare che [tex]|H|[/tex] e [tex]|\text{Aut}(N)|[/tex] sono coprimi. Ci sono due possibilità: se [tex]N \cong C_4[/tex] allora [tex]\text{Aut}(N) \cong C_2[/tex], se [tex]N \cong C_2 \times C_2[/tex] allora [tex]\text{Aut}(N) \cong GL(2,2) \cong S_3[/tex].
Il secondo procedimento non è inutilmente complicato: si presta a generalizzazioni.
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