Gruppo di ordine 24

[isaac888]

Salve a tutti.
Mi sono fatta la mia brava classificazione di tutti i gruppi di ordine 24. Sono 15 e mi tornano tutti. Solo che ne ho trovato uno in più. E' chiaro che sia equivalente a qualcun altro di quelli che ho già trovato e corrispondono a quelli che si trovano facilmente in rete.
Il gruppo incriminato è:

$$G:=Q_8 \rtimes_{\tau}\mathbb{Z} / 3\mathbb{Z}$$

dove $\tau: \mathbb{Z} // 3\mathbb{Z} \rightarrow Aut(Q_8)\cong S_4$, che associa $\tau: 1 \mapsto \sigma$, dove $\sigma$ è un 3-ciclo. Così la regola di commutazione è $\tau_y(x)= (i \ j \ k)^y (x), \forall x\in Q_8$, ($i,j$ sono generatori canonici di $Q_8$ e $k=ij$) con la quale intendo che quando si fa un prodotto in questo gruppo si ottiene:

$$(x,y)(a,b)=(x\tau_y(a),y+b)$$

Qualcuno mi saprebbe dire a quale gruppo dei gruppi canonici di ordine 24 corrisponde?
PS: Ho costruito quella regola di moltiplicazione tanto qualunque altra con nucleo banale dà lo stesso semidiretto in quanto in $S_4$ i 3-cicli sono tutti coniugati.

[spugna2]

Cosa intendi con "gruppi canonici"? C'è qualche lista a cui fai riferimento? In ogni caso, quel gruppo è isomorfo a $\text{SL}(2,\mathbb{F}_3)$, e nelle liste che si trovano online (tipo questa --> https://groupprops.subwiki.org/wiki/Groups_of_order_24) compare al terzo posto.

[isaac888]

"spugna":Cosa intendi con "gruppi canonici"? C'è qualche lista a cui fai riferimento? In ogni caso, quel gruppo è isomorfo a $\text{SL}(2,\mathbb{F}_3)$, e nelle liste che si trovano online (tipo questa --> https://groupprops.subwiki.org/wiki/Groups_of_order_24) compare al terzo posto.

Sì esatto. E' quella la lista. Come hai fatto? Grazie mille

Io $\SL(2,\mathbb{F}_3)$ lo conoscevo già, quindi non l'avevo ricavato da nessun altro prodotto semidiretto, esattamente come ho fatto con $S_4$ che non si può ricavare come prodotto semidiretto. Ma comunque non ci sarei arrivato.

[spugna2]

Non ho fatto nulla perché mi ricordavo che sono isomorfi XD
Se mi stai chiedendo come si dimostra, potresti fare così:

Facendo agire $\text{SL}(2,\mathbb{F}_3)$ sulle rette di $\mathbb{F}_3^2$ passanti per l'origine (che sono 4) si ottiene un morfismo da $\text{SL}(2,\mathbb{F}_3)$ a $S_4$: si vede facilmente che il nucleo è $\{ \pm I \}$, quindi l'immagine è un sottogruppo di $S_4$ di indice 2, cioè necessariamente $A_4$. Poiché $A_4$ ha un sottogruppo normale di ordine 4, per il teorema di corrispondenza $\text{SL}(2,\mathbb{F}_3)$ ha un sottogruppo normale $N$ di ordine 8, quindi è un prodotto (diretto o semidiretto) tra $N$ e $ZZ // 3ZZ$: se però fosse un prodotto diretto, avrebbe un centro di ordine almeno 3, ma abbiamo già visto che il centro è $\{ \pm I \}$ (se fosse più grande, il quoziente per $\{ \pm I \}$ avrebbe un centro non banale, ma il quoziente è $A_4$ che ha centro banale), quindi è un prodotto semidiretto. Ora resta solo da far vedere che $N$ è ismorfo a $Q_8$: uno dei tanti modi è trovare due elementi di ordine 4 che non commutano.

[isaac888]

"spugna":Non ho fatto nulla perché mi ricordavo che sono isomorfi XD
Se mi stai chiedendo come si dimostra, potresti fare così:

Facendo agire $\text{SL}(2,\mathbb{F}_3)$ sulle rette di $\mathbb{F}_3^2$ passanti per l'origine (che sono 4) si ottiene un morfismo da $\text{SL}(2,\mathbb{F}_3)$ a $S_4$: si vede facilmente che il nucleo è $\{ \pm I \}$, quindi l'immagine è un sottogruppo di $S_4$ di indice 2, cioè necessariamente $A_4$. Poiché $A_4$ ha un sottogruppo normale di ordine 4, per il teorema di corrispondenza $\text{SL}(2,\mathbb{F}_3)$ ha un sottogruppo normale $N$ di ordine 8, quindi è un prodotto (diretto o semidiretto) tra $N$ e $ZZ // 3ZZ$: se però fosse un prodotto diretto, avrebbe un centro di ordine almeno 3, ma abbiamo già visto che il centro è $\{ \pm I \}$ (se fosse più grande, il quoziente per $\{ \pm I \}$ avrebbe un centro non banale, ma il quoziente è $A_4$ che ha centro banale), quindi è un prodotto semidiretto. Ora resta solo da far vedere che $N$ è ismorfo a $Q_8$: uno dei tanti modi è trovare due elementi di ordine 4 che non commutano.

Grazie mille. Molto più bella questa tua dimostrazione della mia. Io appena me l'hai detto mi sono costruito la mappa e ho fatto vedere a mano che è un isomorfismo