Gruppo di omomorfismi
Sia G un gruppo e A un gruppo abeliano. Siano $ f,g \in Hom(G,A) $ , si ponga $ (f+g)(x)=f(x)g(x) $. Provare che $ (Hom(G,A),+) $ è un gruppo abeliano.
Allora... faccio vedere che f+g è un omomorfismo
$ (f+g)(xy)=f(xy)g(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y)=f(x)g(x)f(y)g(y)=(f+g)(x)(f+g)(y) $
quindi + è un operazione interna di Hom(G,A)
Consideriamo l'omomorfismo nullo $ 0(x)=1 $ per ogni x in G, abbiamo $ (f+0)(x)=f(x)0(x)=f(x)=0(x)f(x)=(0+f)(x) $ e 0 è elemento neutro. Proviamo l'associatività $ [(f+g)+h](x)=(f+g)(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)(g+h)(x)=[f+(g+h)](x) $. Sia f un omomorfismo e condideriamo l'applicazione $ (-f)(x)=f(x)^{-1} $, risulta $ (-f)(xy)=f(xy)^{-1}=f(x)^{-1}f(y)^{-1}=(-f)(x)(-f)(y) $ e quindi $ -f $ è un omomorfismo. Inoltre risulta $ [f+(-f)](x)=f(x)(-f)(x)=f(x)f(x)^{-1}=1=0(x) $ e quindi $f+(-f)=0 $ e analogamente $ (-f)+f=0 $, cioè tutti gli elementi di Hom(G,A) sono simmetrizzabili ed Hom(G,A) è un gruppo. Infine è abeliano perchè A è abeliano... tutto giusto ?
Grazie $ 10^{3} $
Allora... faccio vedere che f+g è un omomorfismo
$ (f+g)(xy)=f(xy)g(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y)=f(x)g(x)f(y)g(y)=(f+g)(x)(f+g)(y) $
quindi + è un operazione interna di Hom(G,A)
Consideriamo l'omomorfismo nullo $ 0(x)=1 $ per ogni x in G, abbiamo $ (f+0)(x)=f(x)0(x)=f(x)=0(x)f(x)=(0+f)(x) $ e 0 è elemento neutro. Proviamo l'associatività $ [(f+g)+h](x)=(f+g)(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)(g+h)(x)=[f+(g+h)](x) $. Sia f un omomorfismo e condideriamo l'applicazione $ (-f)(x)=f(x)^{-1} $, risulta $ (-f)(xy)=f(xy)^{-1}=f(x)^{-1}f(y)^{-1}=(-f)(x)(-f)(y) $ e quindi $ -f $ è un omomorfismo. Inoltre risulta $ [f+(-f)](x)=f(x)(-f)(x)=f(x)f(x)^{-1}=1=0(x) $ e quindi $f+(-f)=0 $ e analogamente $ (-f)+f=0 $, cioè tutti gli elementi di Hom(G,A) sono simmetrizzabili ed Hom(G,A) è un gruppo. Infine è abeliano perchè A è abeliano... tutto giusto ?
Grazie $ 10^{3} $
Risposte
Direi di sì, hai mostrato tutto il necessario.
Ora l'esercizio mi chiede quest'altra cosa:
Mostrare che $ w: f \in Hom(Q,Q) \rightarrow f(1) \in Q $ è un isomorfismo fra i gruppi Hom(Q,Q) e (Q,+)
Svolgimento
$ w(f+g)=(f+g)(1)=f(1)+g(1)=w(f)+w(g) $
Sia f un endomorfismo di (Q,+) e siano $ m,n $ numeri interi positivi, allora $ f(n/m)=nf(1/m) $, inoltre $ f(1)=f(m/m)=mf(1/m) $ e quindi $ f(n/m)=(n/m)f(1) $, inoltre $ f(-n/m)=-f(n/m)=-(n/m)f(1) $. è chiaro allora che ogni endomorfismo di (Q,+) è completamente determinato dalla scelta di f(1) e quindi $ w $ è biettiva
tutto giusto? Ancora grazie $ 10^{10} $
Mostrare che $ w: f \in Hom(Q,Q) \rightarrow f(1) \in Q $ è un isomorfismo fra i gruppi Hom(Q,Q) e (Q,+)
Svolgimento
$ w(f+g)=(f+g)(1)=f(1)+g(1)=w(f)+w(g) $
Sia f un endomorfismo di (Q,+) e siano $ m,n $ numeri interi positivi, allora $ f(n/m)=nf(1/m) $, inoltre $ f(1)=f(m/m)=mf(1/m) $ e quindi $ f(n/m)=(n/m)f(1) $, inoltre $ f(-n/m)=-f(n/m)=-(n/m)f(1) $. è chiaro allora che ogni endomorfismo di (Q,+) è completamente determinato dalla scelta di f(1) e quindi $ w $ è biettiva
tutto giusto? Ancora grazie $ 10^{10} $
Si', tutto giusto; purche' ti sia chiaro che $f(1)$ puo' essere scelto arbitrariamente in $\mathbb Q$ (che e' vero, ed e' lasciato un po' implicito nel tuo argomento). Per essere piu' esplicito dovresti mostrare in dettaglio la suriettivita' (ma e' ovvio, e segue da quello che hai gia' detto).
Si hai ragione, volendo posso esplicitare mostrando che se $ q \in Q $ allora $ f: n \in Q \rightarrow qn \in Q $ è un omomorfismo tale che $ f(1)=q $ (che poi è un ovvia conseguenza della proprietà distributiva)
Esatto 
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