Gruppo di klein

[sofiza1]

Ciao a tutti..devo verificare che il gruppo di klein è un sottogruppo normale A4(gruppo alterno di S4).
Per verificarlo ho operato così: il gruppo di klein contiene cicli del tipo (ab)(cd) e prendendo $ g in S4 $ si ottiene g(ij)(g^-1)=(g(i)g(j)) che appartiene al gruppo di klein, con (ij) elemento di quest'ultimo.Quindi il gruppo di klein è un sottogruppo di S4 e poichè questo contiene A4,si ha che il gruppo di klein è sottogruppo normale di A4.
Volevo sapere se questa dimostrazione è corretta o come posso migliorarla.

Inoltre non capisco come verificare che qualunque gruppo non ciclico di 4 elementi è isomorfo al gruppo di klein.

Grazie in anticipo..

[j18eos]

Benvenut*, ammessa la correttezza dei conti hai così dimostrato che il gruppo di Klein è un sottogruppo normale di [tex]$S_4$[/tex], notando per bene che la relazione scritta vale anche per le permutazioni pari su [tex]$4$[/tex] enti e che [tex]$V_4<\mathbb{A}_4$[/tex] hai l'asserto.

All'ultima domanda ti rispondo di fare i calcoli!

[sofiza1]

Non capisco cosa intendi con fare i calcoli..dici con un esempio??

[j18eos]

Consideri il generico gruppo di ordine 4, ipotizzi che non sia ciclico e vedi come puoi operare sui suoi elementi!

[sofiza1]

forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua..ma non capisco davvero come dimostrare che i gruppi non ciclici di 4 elem sono isomorfi a quello di klein

[dissonance]

Ci provo io, va. Sono secoli che non faccio un esercizio sui gruppi. Sia $G={1, i, j, k}$ un gruppo di quattro elementi: come da suggerimento del nostro j18eos supponiamo che esso non sia ciclico. Siccome in un gruppo l'unico elemento idempotente è sempre $1$, e siccome l'ordine di un elemento deve dividere l'ordine del gruppo, l'unica possibilità è che $i, j, k$ abbiano ordine $2$, ovvero:

$i^2=1$;
$j^2=1$;
$k^2=1$.

Ora consideriamo $ij$. L'unica possibilità è che sia $ij=k$ perché se fosse

$ij=1$ allora $j=i^{-1}$ ma per ipotesi $i=i^{-1}$ da cui $j=i$, contraddizione;
$ij=i$ allora $j=1$, contraddizione;
$ij=j$ allora $i=1$, contraddizione.

Analogamente si prova che $jk=i, ki=j, ji=k, kj=i, ik=j$. Quindi evidentemente $G$ è (isomorfo al) gruppo di Klein.

[blackbishop13]

oppure dimostriamo che un gruppo di quattro elementi è abeliano, e che gli unici gruppi abeliani di quattro elementi sono [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] e [tex]\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2[/tex]

e quindi un gruppo che non è ciclico è [tex]\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2[/tex] che è guardacaso isomorfo al gruppo di Klein.

[Lorin1]

Oppure possiamo fare prima dicendo che gli unici gruppi di ordine 4 sono: $ZZ_4$ e $V_4$ che si distinguono per le suddette caratteristiche.

[j18eos]

@dissonance Troppo buono nel definirmi "vostro"!

@blackbishop13 Questo è il tocco finale.

@Lorin Devi dimostrare che sono gli unici.

[Lorin1]

Ho riportato una proposizione del mio libro, che ovviamente avendo fatto l'esame di algebra 1, adesso dò per scontata ^^

[j18eos]

Professionalmente parlando: per il rispetto che ho di te l'avevo immaginato!

[sofiza1]

adesso ho capito.. grazie mille a tutti!!

[j18eos]

Prego, di nulla!

[Lorin1]

"j18eos":Professionalmente parlando: per il rispetto che ho di te l'avevo immaginato!

in che senso la devo interpretare?!

[j18eos]

Nel senso di andare a spolverare il dizionario e cercare possibili altri significati dei termini utilizzati, vediamo un pò se ne esce una frase di senso diverso ma compiuto!