Gruppo di galois..dubbio

[miuemia]

ciao a tutti mi si dice di dimostrare che l'estensione $QQsubeQQ(sqrt{p_1},...,sqrt{p_n})$ è di Galois e poi calcolare il relativo gruppo di Galois.
dove $p_1,...,p_n$ sono primi distinti.

allora ho verificato facilmente che $QQ(sqrt{p_1},...,sqrt{p_n})$ è il campo di spezzamento di $f(x)=(x^2-p_1)cdots(x^2-p_n)$ quindi risulta che il gruppo di Galois ha $2^n$ elementi.
ma adesso ogni automorfismo $phi\in G$ è determinato sui valori che assume su $sqrt{p_1},...,sqrt{p_n}$.
e quindi mi risultano $2^n -1$ elementi di ordine $2$ e quindi mi verrebbe da dire che $G~=(ZZ_2)^n$

qualcuno può aiutarmi e dire se è correto????

[Principe2]

i miei ricordi di teoria di Galois sono un pò offuscati, però mi pare proprio che sia corretto,

[miuemia]

forse è proprio coì xke si dimpostra facilmente che $G$ è abeliano in quanto ha elementi tutti di ordine $2$ e poi un omomorfismo che è iniettivo da $G$ in $(ZZ_2)^n$ potrebbe essere questo :
$phi((g_1,...,g_{2^n}))=(g_1,...,g_{2^n})$

dove ovviamente il secondo membro per ogni componente va letta modulo $2$ e chiaramente un omomorfismo è iniettivo e quindi è isomorfismo.

chiaramente i vettore del primo menbro rappresenta gli automorfismi mentre al secondo membro vedo questi automorfismi modulo 2.
mi sembri funzioni