Gruppo di Galois $x^5-1$
Potreste mostrarmi gentilmente il reticolo degli intercampi relativo al polinomio $x^5-1$?
Il gruppo di galois risulta essere, se non sbaglio, ciclico di ordine $4$, giusto?
Possiede quindi un sottogruppo ciclico di ordine $2$, quale sarebbe il corrispondente intercampo?
Il gruppo di galois risulta essere, se non sbaglio, ciclico di ordine $4$, giusto?
Possiede quindi un sottogruppo ciclico di ordine $2$, quale sarebbe il corrispondente intercampo?
Risposte
Tu cos'hai provato a fare per trovarlo?
Citando l'esimio gugo82 (click),
possibile che in (oltre) un anno e mezzo tu non sia riuscito a trovare una fonte bibliografica per apprendere le nozioni inerenti i gruppi di Galois?
Tipo: su quale campo (di base) vuoi calcolare sto gruppo?
Siamo tutti qui per imparare e per dare una mano, ma come si suol dire "aiutati che Dio t'aiuta"!
possibile che in (oltre) un anno e mezzo tu non sia riuscito a trovare una fonte bibliografica per apprendere le nozioni inerenti i gruppi di Galois?
Tipo: su quale campo (di base) vuoi calcolare sto gruppo?
Siamo tutti qui per imparare e per dare una mano, ma come si suol dire "aiutati che Dio t'aiuta"!
Il campo a cui mi riferisco è il campo $QQ$ dei razionali!
Il gruppo di automorfismi di un gruppo ciclico di ordine $n$ ha $phi(n)$ automorfismi, giusto?
Pertanto essendo nel nostro caso $n=5$ un primo avremo $phi(5)=4$ automorfismi, un gruppo di ordine $4 $ è del tipo $ZZ_2 xx ZZ_2$ oppure è ciclico, quindi sicuramente abeliano, che è ovviamente risolubile, come d'altronde è risolubile per radicali la nostra equazione binomiale.
Indicata con $omega$ una radice primitiva, avremo che le distinte radici sono $omega$, $omega^2 $, $omega^3 $, $omega^4$, $omega^5=1$, nel nostro caso abbiamo le seguenti estensioni, $QQ$ campo fisso, $QQ(i)$, $QQ(sqrt(5))$ ed $QQ(i, sqrt(5))=E$ dove con $E$ indichiamo il campo di spezzamento del polinomio, avendo due campi intermedi, per il teorema di corrispondenza il gruppo di Galois deve essere $~~$ ad $ZZ_2 xx ZZ_2$, giusto?
però se non ricordo male il gruppo di galois nel caso in cui $p$ é primo, si dimostra essere ciclico.
Il gruppo di automorfismi di un gruppo ciclico di ordine $n$ ha $phi(n)$ automorfismi, giusto?
Pertanto essendo nel nostro caso $n=5$ un primo avremo $phi(5)=4$ automorfismi, un gruppo di ordine $4 $ è del tipo $ZZ_2 xx ZZ_2$ oppure è ciclico, quindi sicuramente abeliano, che è ovviamente risolubile, come d'altronde è risolubile per radicali la nostra equazione binomiale.
Indicata con $omega$ una radice primitiva, avremo che le distinte radici sono $omega$, $omega^2 $, $omega^3 $, $omega^4$, $omega^5=1$, nel nostro caso abbiamo le seguenti estensioni, $QQ$ campo fisso, $QQ(i)$, $QQ(sqrt(5))$ ed $QQ(i, sqrt(5))=E$ dove con $E$ indichiamo il campo di spezzamento del polinomio, avendo due campi intermedi, per il teorema di corrispondenza il gruppo di Galois deve essere $~~$ ad $ZZ_2 xx ZZ_2$, giusto?
però se non ricordo male il gruppo di galois nel caso in cui $p$ é primo, si dimostra essere ciclico.
$i$ non vive nel campo di spezzamento di quel polinomio. Sì il gruppo di Galois è ciclico di ordine 4.
Quindi il campo intermedio è $Q(sqrt(5)) $ , ed è l'unico, e corrisponde al stgp di ordine$2$ del gruppo di galois, dopo abbiamo $Q(omega)=E$ campo di spezzamento, con $omega$ radice quinta dell'unita,generatore, che contiene tutte le radici, giusto?
Una curiosità, se amplio il campo $Q$ con la radice immaginaria $i$ cosa ottengo?
Una curiosità, se amplio il campo $Q$ con la radice immaginaria $i$ cosa ottengo?
"francicko":
Quindi il campo intermedio è $Q(sqrt(5)) $ , ed è l'unico, e corrisponde al stgp di ordine$2$ del gruppo di galois, dopo abbiamo $Q(omega)=E$ campo di spezzamento, con $omega$ radice quinta dell'unita,generatore, che contiene tutte le radici, giusto?
Una curiosità, se amplio il campo $Q$ con la radice immaginaria $i$ cosa ottengo?
Nota che $Q$ e $\QQ$ non sono lo stesso simbolo. In particolare il primo non ha nessun significato standard...
Se aggiungi $i$ a $\QQ$ ottieni $\QQ(i)$, il campo quadratico immaginario di discriminante -4.
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