Gruppo di Galois transitivo su fattori irriducibili

[abbandono1]

Salve, stavo provando a dimostrare questo risultato e sono quasi sicuro che il mio ragionamento vada bene ma mi resta un dubbio su un passaggio.

Sia $K$ campo, $f\inK[x]$ polinomio separabile con fattore irriducibile $g$. Provare che $G=Gal(f//K)$ è transitivo sulle radici di $g$.

Il mio ragionamento è questo.
Considero la torre $K->K(\alpha)->E$, con $E$ campo di spezzamento di $f$. Prendo $\alpha$,$\beta$ radici di $g$. Quindi abbiamo sempre un omomorfismo $\sigma: K(\alpha)//K->K(\beta)//K$ con $\sigma(\alpha)=\beta$.
Quindi, se considero $\barK$ chiusura algebrica, la mia domanda è: posso sempre estendere il mio $\sigma$ ad un omomorfismo $\barsigma:K(\alpha)//K->barK//K$ ? Se si, perché?
Perché se ciò si potesse fare semplicemente potrei (correggetemi se sbaglio) estendere il mio omomorfismo $\barsigma$ ad un $\tau:E//K->\barK//K$ che, essendo l'estensione $E//K$ normale, altro non è che un automorfismo di $E//K$ tale che $tau(\alpha)=\beta$

[andreaciceri96]

"abbandono1":
Sia $K$ campo, $f\inK[x]$ polinomio separabile con fattore irriducibile $g$. Provare che $G=Gal(f//K)$ è transitivo sulle radici di $g$.

Intendi $G=Gal(E//K)$ con $E$ campo di spezzamento di $f$, giusto?

Ti scrivo come come studente che sta studiando queste cose proprio ora, quindi prendi con le pinze quello che sto per scrivere.
Premetto anche che non ho capito bene la tua soluzione, io comunque la cosa la vedrei cosi':

Se per assurdo l'azione di $G$ su $R_g$ insieme delle radici di $g$ non e' transitiva significa che esistono due radici $\alpha, \beta \in R_g$ tali che non esiste $\tau \in G$ per cui $\tau(\alpha)=\beta$.
Quindi $\tau(R_g) \subset R_g$ e $\tau(R_g) \ne R_g$, ma $R_g$ genera il campo di spezzamento di $g$ ossia $K(R_g)$, quindi l'immagine di $K[R_g]$ attraverso il $K$-automorfismo $\tau$ e' il campo di spezzamento di $R_g$ tolta almeno una radice, ma allora $\tau$ non e' suriettivo, assurdo.

Non ne sono certo, ci sto ragionando anche io su questi argomenti e spesso vado in palla. Alla fine ho scritto una pappardella per una roba che probabilmente scritta bene occupa una riga.