Gruppo di Galois di un polinomio
Qualcuno mi sa dire qual è il gruppo di Galois di $x^3-2x+4$ io ho calcolato le soluzioni che sono $-2$ , $1-i$ e $1+i$ e poi? Quali sono gli elementi di Gal(f/Q)??
Risposte
Visto che estendi il campo $Q$, la radice $-2$ che hai trovato è gratis, esiste già in $Q$. Dunque riprendi il tuo polinomio e vedi che:
$x^3 - 2x + 4 = (x + 2)(x^2 - 2x +4)$
Dunque ti riduci a studiare il polinomio di secondo grado nel membro di destra, che come hai giustamente detto ha come radici $1 + i$ e $1- i$.
Quindi in realtà il tuo campo di spezzamento è $Q(i)$ (devi far vedere la doppia inclusione $Q(1+i,1-i) sub Q(i)$ e $ Q(i) sub Q(1+i,1-i)$). Visto che è campo di spezzamento, $Q(i)$/$Q$ è un'estensione di Galois di grado 2, poichè è un'estensione semplice (hai aggiunto un solo elemento $i$ che ha polinomio minimo di grado 2). Allora gli corrisponde il gruppo di Galois di 2 elementi, e l'unico gruppo avente due elementi è banalmente $Z$/$2Z$.
$x^3 - 2x + 4 = (x + 2)(x^2 - 2x +4)$
Dunque ti riduci a studiare il polinomio di secondo grado nel membro di destra, che come hai giustamente detto ha come radici $1 + i$ e $1- i$.
Quindi in realtà il tuo campo di spezzamento è $Q(i)$ (devi far vedere la doppia inclusione $Q(1+i,1-i) sub Q(i)$ e $ Q(i) sub Q(1+i,1-i)$). Visto che è campo di spezzamento, $Q(i)$/$Q$ è un'estensione di Galois di grado 2, poichè è un'estensione semplice (hai aggiunto un solo elemento $i$ che ha polinomio minimo di grado 2). Allora gli corrisponde il gruppo di Galois di 2 elementi, e l'unico gruppo avente due elementi è banalmente $Z$/$2Z$.
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