Gruppo di Galois
Salve a tutti vorrei un aiuto per quanto riguarda la determinazione del gruppo di Galois di una data estensione di Galois (appunto).
Esempio, se ho l'estensione[tex]\mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt[4]{6})\supseteq\mathbb{Q}[/tex] come procedo per trovare il gruppo [tex]Gal( \mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt[4]{6})_{/\mathbb{Q}})[/tex]?
Una volta trovato il polinomio che si spezza su quel campo e le radici come faccio a vedere come vengono permutate?
L'estensione ha grado 16, dunque il gruppo avrà ordine 16. Ma come capisco di che gruppo si tratta?
Grazie mille a chiunque possa aiutarmi.
Esempio, se ho l'estensione[tex]\mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt[4]{6})\supseteq\mathbb{Q}[/tex] come procedo per trovare il gruppo [tex]Gal( \mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt[4]{6})_{/\mathbb{Q}})[/tex]?
Una volta trovato il polinomio che si spezza su quel campo e le radici come faccio a vedere come vengono permutate?
L'estensione ha grado 16, dunque il gruppo avrà ordine 16. Ma come capisco di che gruppo si tratta?
Grazie mille a chiunque possa aiutarmi.
Risposte
L'idea e' di determinare inanzitutto il gruppo di Galois $G$ di $K=QQ(i,\root 4 6)$ su $QQ$.
Affermazione (a): il gruppo $G$ e' isomorfo al gruppo diedrale $D_4$ di ordine~$8$.
Affermazione (b): l'intersezione di $K$ con $QQ(\sqrt{2})$ e' uguale a $QQ$.
Corollario: il gruppo di Galois $H$ di $QQ(\sqrt{2})$ su $QQ$ e' isomorfo al gruppo ciclico $C_2$. Per l'affermazione (b), il gruppo di Galois del campo composito $K(sqrt{2})=\QQ(\sqrt{2},i,\root 4 6)$ su $QQ$ e' quindi isomorfo al prodotto $G\times H$.
Per l'affermazione (a), il gruppo $G\times H$ e' isomorfo a $D_4\times C_2$. Fatto.
(a) Sia $\sigma$ l'automorfismo di $K$ che fissa $i$ e manda $ \root 4 6$ in $i\root 4 6$.
Allora $\sigma$ ha ordine~$4$. Sia $\tau$ l'automorfismo di $K$ che fissa $\root 4 6$ e manda $i$ in $-i$. Allora $\tau$ ha ordine~$2$. E' facile vedere che $\sigma$ e $\tau$ generano $G$ e che $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^{-1}$. In altre parole, $G$ e' isomorfo a $D_4$.
(b) Il gruppo diedrale $D_4$ ha esattamente tre sottogruppi di indice~$2$. Per la teoria di Galois, il campo $K$ ha quindi esattamente tre sottocapi di grado~$2$ su~$QQ$. Infatti, si tratta di $QQ(i)$, $QQ(\sqrt{6})$ e $QQ(\sqrt{-6})$. E' facile vedere che $\sqrt{2}$ non appartiene a nessuno dei tre campi. Questo implica che $\sqrt{2}$ non sta in~$K$ e l'affermazione (b) segue.
Affermazione (a): il gruppo $G$ e' isomorfo al gruppo diedrale $D_4$ di ordine~$8$.
Affermazione (b): l'intersezione di $K$ con $QQ(\sqrt{2})$ e' uguale a $QQ$.
Corollario: il gruppo di Galois $H$ di $QQ(\sqrt{2})$ su $QQ$ e' isomorfo al gruppo ciclico $C_2$. Per l'affermazione (b), il gruppo di Galois del campo composito $K(sqrt{2})=\QQ(\sqrt{2},i,\root 4 6)$ su $QQ$ e' quindi isomorfo al prodotto $G\times H$.
Per l'affermazione (a), il gruppo $G\times H$ e' isomorfo a $D_4\times C_2$. Fatto.
(a) Sia $\sigma$ l'automorfismo di $K$ che fissa $i$ e manda $ \root 4 6$ in $i\root 4 6$.
Allora $\sigma$ ha ordine~$4$. Sia $\tau$ l'automorfismo di $K$ che fissa $\root 4 6$ e manda $i$ in $-i$. Allora $\tau$ ha ordine~$2$. E' facile vedere che $\sigma$ e $\tau$ generano $G$ e che $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^{-1}$. In altre parole, $G$ e' isomorfo a $D_4$.
(b) Il gruppo diedrale $D_4$ ha esattamente tre sottogruppi di indice~$2$. Per la teoria di Galois, il campo $K$ ha quindi esattamente tre sottocapi di grado~$2$ su~$QQ$. Infatti, si tratta di $QQ(i)$, $QQ(\sqrt{6})$ e $QQ(\sqrt{-6})$. E' facile vedere che $\sqrt{2}$ non appartiene a nessuno dei tre campi. Questo implica che $\sqrt{2}$ non sta in~$K$ e l'affermazione (b) segue.
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