Gruppo di Galois
Non mi è chiaro come il gruppo di Galois:
[tex]Gal(\mathbb{C} /\mathbb{Q} )[/tex]
possa avere infiniti elementi.
So che
[tex]Gal(\mathbb{C} /\mathbb{R} )[/tex]
è composto da soli 2 elementi, ovvero l' identità e la coniugazione complessa, infatti entrambe le funzioni agiscono come identità sui reali.
Ma dire che il primo gruppo ha infiniti elementi è come dire che escludendo i numeri irrazionali in R si ottengono infiniti morfismi che lasciano invariati i numeri razionali... e non capisco quali siano questi morfismi..
[tex]Gal(\mathbb{C} /\mathbb{Q} )[/tex]
possa avere infiniti elementi.
So che
[tex]Gal(\mathbb{C} /\mathbb{R} )[/tex]
è composto da soli 2 elementi, ovvero l' identità e la coniugazione complessa, infatti entrambe le funzioni agiscono come identità sui reali.
Ma dire che il primo gruppo ha infiniti elementi è come dire che escludendo i numeri irrazionali in R si ottengono infiniti morfismi che lasciano invariati i numeri razionali... e non capisco quali siano questi morfismi..
Risposte
Questo è perchè $CC$ presenta degli elementi trascendenti su $QQ$ e quindi ha grado infinito su esso.
Per esempio, per il teorema dei gradi: $[CC : QQ] = [CC : QQ[\pi]]\cdot [QQ[\pi] : QQ]$ e $[QQ[\pi] : QQ] = +\infty$ perchè, $\forall n \in NN$, ${1, pi, ..., pi^n}$ sono $n+1$ elementi linearmente indipendenti. Per trovare infiniti automorfismi per esempio puoi partire dagli infiniti che ci sono in $QQ[\pi] \/ QQ$ (click) e poi estenderli ad automorfismi nel campo più grande.
Per esempio, per il teorema dei gradi: $[CC : QQ] = [CC : QQ[\pi]]\cdot [QQ[\pi] : QQ]$ e $[QQ[\pi] : QQ] = +\infty$ perchè, $\forall n \in NN$, ${1, pi, ..., pi^n}$ sono $n+1$ elementi linearmente indipendenti. Per trovare infiniti automorfismi per esempio puoi partire dagli infiniti che ci sono in $QQ[\pi] \/ QQ$ (click) e poi estenderli ad automorfismi nel campo più grande.
"Gatto89":Non proprio, serve anche che $CC$ è algebricamente chiuso.
Questo è perchè $CC$ presenta degli elementi trascendenti su $QQ$ e quindi ha grado infinito su esso.
Per esempio anche $RR$ ha elementi trascendenti su $QQ$, eppure [tex]\text{Aut}(\mathbb{R})=\{1\}[/tex].
Darei la seguente referenza (pagina 49, "Automorphism extension theorem" e quanto segue).
ma scusate un attimo.. leggendo le vostre risposte mi è venuto un dubbio che mi sa tanto di ridicolo ma mi sta troppo intrippando..
quali sono dei numeri trascendenti su R? esistono??
quali sono dei numeri trascendenti su R? esistono??
"Hop Frog":Nel campo delle frazioni di [tex]\mathbb{R}[X][/tex] - indicato di solito con [tex]\mathbb{R}(X)[/tex] - esistono elementi trascendenti su [tex]\mathbb{R}[/tex] (per esempio [tex]X[/tex]).
quali sono dei numeri trascendenti su R? esistono??
wait, wait...
tu mi stai dicendo che X, valutato come elemento di [tex]\mathbb{R} (X)[/tex] , è un elemento trascendente su [tex]\mathbb{R}[/tex] ovvero che non esiste alcun olinomio in [tex]\mathbb{R} [X][/tex] che ha come soluzione X??
ma che significa??
tu mi stai dicendo che X, valutato come elemento di [tex]\mathbb{R} (X)[/tex] , è un elemento trascendente su [tex]\mathbb{R}[/tex] ovvero che non esiste alcun olinomio in [tex]\mathbb{R} [X][/tex] che ha come soluzione X??
ma che significa??
"Hop Frog":Beh, significa quello che hai detto.
ma che significa??
ma...
è come dire che una banana in [tex]\mathbb{R}[/tex] è trascendente perchè nessun polinomio a coefficienti reali ha una banana come radice...
è come dire che una banana in [tex]\mathbb{R}[/tex] è trascendente perchè nessun polinomio a coefficienti reali ha una banana come radice...
"Hop Frog":Se fai una costruzione in cui la banana non è algebrica, allora dev'essere trascendente.
è come dire che una banana in [tex]\mathbb{R}[/tex] è trascendente perchè nessun polinomio a coefficienti reali ha una banana come radice...
Sia B una banana.
Considera l'anello dei polinomi [tex]A:=\mathbb{R}[/tex]. Questo anello si può descrivere anche in un modo intrinseco: si tratta dell'insieme delle funzioni [tex]f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}[/tex] tali che [tex]\{n \in \mathbb{N}\ |\ f(n) \neq 0\}[/tex] è un insieme finito. L'intuizione è che associ alla funzione f la scrittura formale [tex]\sum_{n \in \mathbb{N}} f(n) B^n[/tex] (che se noti è una somma finita per la condizione che ho detto, e identifica univocamente la f). Ora prendi il campo delle frazioni di [tex]A[/tex], chiamalo [tex]K[/tex]. Dentro K c'è l'elemento B (la banana). Secondo la nostra costruzione [tex]B[/tex] non è altro che la funzione [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{R}[/tex] che vale [tex]1[/tex] in [tex]1[/tex] e [tex]0[/tex] altrove.
Ora il punto è che il campo K contiene [tex]\mathbb{R}[/tex], nel senso che l'omomorfismo ovvio [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{K}[/tex] (quello che manda ogni [tex]r[/tex] in se stesso, cioè nella funzione [tex]\mathbb{N}\to \mathbb{R}[/tex] che vale [tex]r[/tex] in [tex]0[/tex] e [tex]0[/tex] altrove) è iniettivo. Quindi tu ora identifichi [tex]\mathbb{R}[/tex] al sottocampo [tex]\{f \in A\ |\ f(n)=0\ se\ n>0\}[/tex] di K.
Prendi la tua banana B (la funzione da [tex]\mathbb{N}[/tex] a [tex]\mathbb{R}[/tex] che vale [tex]1[/tex] in [tex]1[/tex] e [tex]0[/tex] altrove). E' trascendente su R, no? Infatti se un polinomio [tex]P(X)[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{R}[/tex] annulla [tex]B[/tex] allora nell'anello [tex]A=\mathbb{R}[/tex] (che è un anello di polinomi!) si avrebbe [tex]P(B)=0[/tex], e questo è possibile solo se [tex]P=0[/tex].
Come vedi in tutto questo la banana è solo un oggetto ausiliario, non compare mai nelle descrizioni formali degli oggetti.
Se invece prendi il quoziente [tex]L:=\mathbb{R}/(B^2+1)[/tex] (che è un campo) e identifichi la banana B con la sua classe [tex]B+(B^2+1)[/tex] (tramite l'omomorfismo iniettivo [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}/(B^2+1)[/tex] che manda ogni reale nella sua classe) allora [tex]B \in L[/tex] è algebrica su [tex]\mathbb{R}[/tex], essendo [tex]B^2+1=0[/tex].
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