Gruppo di Galois..?

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Sia \( P(x) = x^5-x-1 \in \mathbb{Q}[x] \) e sia \(L\) il campo di spezzamento su \( \mathbb{Q} \).
a) Dimostra che \( \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}) \) contiene una trasposizione
b) Dimostra che \( \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}) \) contiene un 5-ciclo
c) Deduci che \( \operatorname{Gal}(L/ \mathbb{Q}) \cong S_5 \).

Non capisco le soluzioni.
-Non capisco in particolare il motivo per cui se un polinomio \(P_2\) è separabile allora è equivalente a dire che il primo \(2\) non divide il discriminante. (idem per \(P_3\)).
- Non capisco perché deve considerare una radice \(z \in \mathbb{F}_9 \setminus \mathbb{F}_3\).

a) Sia \( P_2 \) la riduzione modulo 2 di \(P\). Abbiamo che
\[ P_2(x) = (x^2+x+1)(x^3+x^2+1) \]
abbiamo quindi che \(P_2 \) è un prodotto di due polinomi irriducibili. In particolare \(P_2\) è separabile, che è equivalente a dire che \(2\) non divide il discriminante di \(P\). Quindi abbiamo che \( \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q} ) \) contiene una trasposizione e un 3-ciclo.

b) Sia \( P_3 \) la riduzione modulo 3 di \(P\). Dimostriamo che \(P_3 \) è irriducibile. Assumiamo il contrario, siccome \(P_3 \) non possiede nessuna radice in \( \mathbb{F}_3 \), allora
\[ P_3 = Q_1 Q_2 \]
con \(Q_1,Q_2\) irriducibili e di grado 2 e 3 rispettivamente. Sia \(z \) una radice di \(Q_1\). Siccome \(Q_1\) è irriducibile allora \(z \in \mathbb{F}_9 \setminus \mathbb{F}_3 \), in particolare
\[ z^4 \in \{-1,0,1\} \]
quindi
\[ P_3 = z z^4 + 2z + 2 \in \{2,z+2\} \]
che contraddice \( P_3(z)=0 \).
Pertanto sappiamo che \(P_3\) è irriducibile, quindi separabile e quindi il discriminante di \(P\) non è divisibile per 3. Quindi il risultato segue e \( \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q} ) \) contiene un 5-ciclo.

[hydro1]

- Perchè 2 non divide il discriminante di $P$ se e solo se il discriminante di $P$ modulo $2$ è diverso da zero se e solo se $P_2$ è separabile.

- Perchè un polinomio irriducibile a coefficienti in $\mathbb F_3$ di grado 2 ha necessariamente una radice in $\mathbb F_9$.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"hydro":- Perchè 2 non divide il discriminante di $P$ se e solo se il discriminante di $P$ modulo $2$ è diverso da zero se e solo se $P_2$ è separabile.

L'ultimo se e solo se non l'ho capito.

"hydro":
- Perchè un polinomio irriducibile a coefficienti in $\mathbb F_3$ di grado 2 ha necessariamente una radice in $\mathbb F_9$.

Ah.. beh sì perché un polinomio irriducibile su \( \mathbb{F}_p[x] \) di grado \(d \mid n\) scinde in \( \mathbb{F}_{p^n}[x] \), nel nostro caso \(p=3, d=n=2 \). Nel caso in cui avesse voluto controllare le radici dell'altro polinomio avrebbe dovuto prendere \( \mathbb{F}_{27} \), giusto?

[hydro1]

"3m0o":[quote="hydro"]- Perchè 2 non divide il discriminante di $ P $ se e solo se il discriminante di $ P $ modulo $ 2 $ è diverso da zero se e solo se $ P_2 $ è separabile.

L'ultimo se e solo se non l'ho capito.
[/quote]

E' la definizione di polinomio separabile.