Gruppo di Galois

[francicko]

Come posso calcolare il gruppo di Galois di questo polinomio: $x^4-4x+2$?

[antofilo-votailprof]

Dovresti prima di tutto osservare che il polinomio è irriducibile su $Q$ (perchè?)

[francicko]

Non ha soluzioni in $Q$, queste dovrebbero essere divisori del termine noto $2$, cioè $+/-1, +/-2$ e sostituendo si vede facilmente che nessuna soddisfa l'equazione, oppure per il criterio di Esenstein, mi sbaglio?
Studiando la derivata prima mi accorgo che ha due soluzioni reali, pertanto deduco che le altre due sono complesse coniugate in $C$, mi sbaglio?

[hydro1]

Non basta sapere che non ha radici, perchè potrebbe essere prodotto di due fattori irriducibili di grado 2. Invece Eisenstein basta. Adesso puoi ragionare così: il discriminante non è un quadrato, quindi il gruppo di Galois non è contenuto in $A_4$. Inoltre $f$ è irriducibile modulo 3 e ha esattamente una radice modulo 5. Questo ti dice che il gruppo di Galois contiene un 4-ciclo ed un 3-ciclo. Ma allora ha ordine almeno 12, è transitivo su 4 elementi perchè $f$ è irriducibile e non è $A_4$. Non può che essere $S_4$.