Gruppo delle unità di $ZZ_n$ - alcune "congetture"
salve ragazzi, sono colto da un acuto senso di curiosità.
Sappiamo che in generale $(ZZ_n,+)$ è ciclico ed ammette come generatore ogni $[m]_n$ tale che $(m,n)=1$
ma cosa si può dire sul gruppo moltiplicativo $(U(ZZ_n),*)$?
in generale è più difficile stabilire se è ciclico oppure se non è ciclico. Ed è altrettanto "lungo" e dispendioso , nel caso che fosse ciclico, trovarne almeno un generatore e stabilire i co-generatori.
tuttavia, il teorema di Lagrange e il risultato della $\phi$ di eulero , ci vengono in aiuto.
Nel senso che se $x in U(ZZ_n)$ , $o(x)$ sarà un divisore di $\phi(n)$.
Guardando dei casi concreti, ho elaborato alcune congetture.
prima
Ho notato che se $n$ non si scrive nel prodotto di primi distinti allora $U_n$ non è ciclico.
Quindi mi verrebbe da dire che $U_n$ è ciclico se e solo se $n$ è primo oppure si scrive come prodotto di primi distinti.
Ma un problema è ancora aperto, è possibile stabilire secondo un qualche criterio chi è il generatore di $U_n$ o bisogna procedere per tentativi?
sarebbe dispendioso se $n$ fosse molto grande.
seconda
supponiamo che $x$ sia il generatore di $U_n$
allora $U_n = { 1 , x , x^2 , x^3 , x^4 , x^i,......., x^n}$
attraverso qualche caso pratico ho notato che per ogni indice $i$ con $i$ co-primo con $n$ si ha che $x^i$ è generatore di $U_n$ è vera anche questa?
nel caso che queste due "congetture" siano vere, come posso provarle?
grazie dell'aiuto
Sappiamo che in generale $(ZZ_n,+)$ è ciclico ed ammette come generatore ogni $[m]_n$ tale che $(m,n)=1$
ma cosa si può dire sul gruppo moltiplicativo $(U(ZZ_n),*)$?
in generale è più difficile stabilire se è ciclico oppure se non è ciclico. Ed è altrettanto "lungo" e dispendioso , nel caso che fosse ciclico, trovarne almeno un generatore e stabilire i co-generatori.
tuttavia, il teorema di Lagrange e il risultato della $\phi$ di eulero , ci vengono in aiuto.
Nel senso che se $x in U(ZZ_n)$ , $o(x)$ sarà un divisore di $\phi(n)$.
Guardando dei casi concreti, ho elaborato alcune congetture.
prima
Ho notato che se $n$ non si scrive nel prodotto di primi distinti allora $U_n$ non è ciclico.
Quindi mi verrebbe da dire che $U_n$ è ciclico se e solo se $n$ è primo oppure si scrive come prodotto di primi distinti.
Ma un problema è ancora aperto, è possibile stabilire secondo un qualche criterio chi è il generatore di $U_n$ o bisogna procedere per tentativi?
sarebbe dispendioso se $n$ fosse molto grande.
seconda
supponiamo che $x$ sia il generatore di $U_n$
allora $U_n = { 1 , x , x^2 , x^3 , x^4 , x^i,......., x^n}$
attraverso qualche caso pratico ho notato che per ogni indice $i$ con $i$ co-primo con $n$ si ha che $x^i$ è generatore di $U_n$ è vera anche questa?
nel caso che queste due "congetture" siano vere, come posso provarle?
grazie dell'aiuto
Risposte
prima
Falso $15= 3 xx 5$ e si ha $U(ZZ_{15}) = {1,2,4,7,8,11,13,14}$ ma l'elemento $2$ ha ordine $4$ infatti $2^4=16=1(mod \quad 15)$
seconda
Questo vale per tutti i gruppi ciclici, praticamente è lo stesso ragionamento che fai per i generatori in $(ZZ_n,+)$ ma trasformato in notazione moltiplicativa...
Falso $15= 3 xx 5$ e si ha $U(ZZ_{15}) = {1,2,4,7,8,11,13,14}$ ma l'elemento $2$ ha ordine $4$ infatti $2^4=16=1(mod \quad 15)$
seconda
Questo vale per tutti i gruppi ciclici, praticamente è lo stesso ragionamento che fai per i generatori in $(ZZ_n,+)$ ma trasformato in notazione moltiplicativa...
hai ragione che sciocco che sono. è una cosa che vale in generale. (la seconda)
per la prima, allora cosa si può dire sulla ciclicità di $U_n$?
eventualmente, chi sono i suoi generatori?
per la prima, allora cosa si può dire sulla ciclicità di $U_n$?
eventualmente, chi sono i suoi generatori?
Il gruppo moltiplicativo $ZZ^{ xx }_n$ è ciclico se e solo se $n=2,4,p^k,2p^k$ con $p$ primo dispari e $k >=1$. Sembra non esistano al momento formule semplici per determinare i generatori, ma esistono algoritmi. I generatori del gruppo $Z^{ xx }_n$ si chiamano radici primitive modulo n http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_modulo_n Sono questioni di teoria dei numeri, io non ne so nulla... prova a googlare. 
ci sto provando. vedremo un po :p il problema mi è nato guardando questo esercizio.
Sia $A=ZZ_(707)$ , trovare in $U(ZZ_707)$ un elemento di periodo 6
che sinceramente, non ho la ben che minima idea di come risolverlo
Sia $A=ZZ_(707)$ , trovare in $U(ZZ_707)$ un elemento di periodo 6
che sinceramente, non ho la ben che minima idea di come risolverlo
Allora... senti sto ragionamento e vedi se ti convince: prima cosa notiamo che $ZZ^{ xx }_707 = (ZZ_101 xx ZZ_7)^{ xx } = ZZ^{ xx }_101 xx ZZ^{ xx }_7$ Adesso $ZZ^{ xx }_7$ è ciclico di ordine 6 e un suo generatore è $3$, quindi l'elemento $([1]_{101}, [3]_{7})$ è quello che ci serve, ma a quale elemento $[a]_{707}$ corrisponde in $ZZ_{707}$ ?? Deve essere $a = 1 (mod \quad 101)$ e inoltre $a=3 (mod \quad 7)$. Con pò di prove si trova che $a=304$ soddisfa tutto.
mmh mi convince , alla fine hai sfruttato l'isomorfismo $ZZ^\times_707=ZZ_101^\times \times ZZ^\times_7$
e hai constatato che $[3]_7$ ha ordine 6 mentre in $ZZ^\times_101$ non ve ne sono. infatti 6 non divide la sua cardinalità. quindi possiamo prendere solo $[1]_101$
quindi possiamo considerare un elemento del tipo $([1]_101, [3]_7)$ ora sfruttando il teorema cinese dei resti troviamo chi è quell'elemento in $ZZ^\times_707$ e troviamo che è $[304]_707$ , è giusto?
e hai constatato che $[3]_7$ ha ordine 6 mentre in $ZZ^\times_101$ non ve ne sono. infatti 6 non divide la sua cardinalità. quindi possiamo prendere solo $[1]_101$
quindi possiamo considerare un elemento del tipo $([1]_101, [3]_7)$ ora sfruttando il teorema cinese dei resti troviamo chi è quell'elemento in $ZZ^\times_707$ e troviamo che è $[304]_707$ , è giusto?
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