Gruppo delle permutazioni S5

[lapiccolapeste1]

sia H l'insieme delle permutazioni σ∈S5 tali che σ(1)=1 oppure σ(1)=2
1) dimostrare che H non è un sottogruppo di S5
2) determinare il sottogruppo generato da H

sono in crisi più totale non so dove mettere le mani

[dan952]

Il primo punto segue dal fatto che non è chiuso infatti $(1\ 2), (2\ 3) \in H$ ma $(2\ 3)(1\ 2) \notin H$

Il secondo punto non l'ho capito...

[zimp]

Il sottogruppo generato da H è il più piccolo sottogruppo di S5 che contiene H.

Siccome contiene tutte le permutazioni tali che σ(1)=1, allora contiene una copia di S4 che fa permutare gli elementi {2,3,4,5}, quindi ha almeno 4! elementi.

Siccome anche (1 2) è in H, allora il relativo sottogruppo generato ha più di 4! elementi, quindi, per il teorema di Lagrange, questo sottogruppo deve avere un numero di elementi che divide 5!, ma che è maggiore di 4!, quindi è tutto S5.