Gruppo delle permutazioni

[melli13]

Sia G un gruppo di ordine n. Sia $S(G)$ il gruppo delle permutazioni di G. Dimostrare che $S(G)$ è isomorfo a $S_n$

Mi sembra una cosa tanto banale che non riesco a dimostrarla!Per definizione $S_n$ è proprio il gruppo delle permutazioni di n elementi....ma come si dimostra?l'esecizio è nel capitolo delle azioni di gruppi, quindi forse esse ci entrano qualcosa....ma non ho proprio l'idea!Voi ne avete una?Grazie...

[Mrhaha]

Non ti saprei dire,ma mi sembra interessante! Perciò vorrei seguire questa discussione!

[j18eos]

Siano \((G;\cdot)\) il gruppo in questione; \(f\in S(G)\) e \(g\) una biezione tra il sostegno di \(G\) e l'insieme \(\{1;...;n\}\), considera l'applicazione \(\varphi:f\in S(G)\to g\circ f\circ g^{-1}\in\mathrm{Sym}(n)\)...

Per capire come si ottiene questa funzione fatti un diagramma funzionale!

[gundamrx91-votailprof]

Scusate l'ignoranza ma a cosa si riferisce $Sym(n)$ ?

[vict85]

"GundamRX91":Scusate l'ignoranza ma a cosa si riferisce $Sym(n)$ ?

Esistono vari modi per segnare il gruppo simmetrico di un insieme. Quello è il metodo esteso. Io per esempio lo uso nella mia tesi perché con la maiuscola $S$ segno già un insieme di generatori. E siccome i gruppi simmetrici compaiono qua e la spesso e che $S$ compare praticamente in una frase su 3 usare $S_n$ era impratico e l'ho preferito a $\mathfrak{S}_n$. Inoltre $\text{Sym}$ è più usato quando l'insieme su cui agisce il gruppo simmetrico è qualsiasi.

[gundamrx91-votailprof]

Grazier mille per la spiegazione

[j18eos]

Io preferisco la "notazione estesa" (grazie per la nomenclatura vict85) in quanto con \(S_n\) io indico l'\(n\)-simo gruppo semidiedrale!

[vict85]

"j18eos":Io preferisco la "notazione estesa" (grazie per la nomenclatura vict85) in quanto con \(S_n\) io indico l'\(n\)-simo gruppo semidiedrale!

Non so quanto sia standard, mi sembrava una nomenclatura appropriata. Sempre che esista una nomenclatura standard .

Molti libri comunque la usano quella notazione. Esiste una notazione estesa anche del gruppo diedrale \(\displaystyle \text{Dih}_n \) (io preferisco segnarlo con $n$ invece che con $2n$). Anche se molto meno comune.

[melli13]

Cos'è un diagramma funzionale? Scusa, ma proprio non riesco a visualizzare questa applicazione.

[vict85]

Tu hai una biezione tra \(\displaystyle [n] \) (i numeri da $1$ a $n$) e $G$ (ma in generale vale per qualsiasi insieme $X$). Sia quindi \(\displaystyle g\colon [n]\to G \) questa biezione. Allora per ogni elemento \(\displaystyle f \in \mathrm{Sym}(G) \) la funzione \(\displaystyle g^{-1}fg \) è un funzione da \(\displaystyle [n] \) in \(\displaystyle [n] \). Ed è inoltre una biezione e quindi un elemento di \(\displaystyle \mathrm{Sym}(n) \) in quanto il suo inverso è \(\displaystyle gf^{-1}g^{-1} \). Quindi \(\displaystyle g^{-1}\mathrm{Sym}(G)g \subseteq \mathrm{Sym}(n) \).
Similmente ricavi \(\displaystyle g\mathrm{Sym}(n)g^{-1} \subseteq \mathrm{Sym}(G) \) e quindi la funzione \(\displaystyle g^*\colon \mathrm{Sym}(G)\to \mathrm{Sym}(n) \) definita come \(\displaystyle f\mapsto g^{-1}fg \) è una biezione tra i due gruppi. Rimane quindi da mostrare che è un omomorfismo ma te lo lascio come esercizio.

[j18eos]

"melli13":Cos'è un diagramma funzionale?...

Una cosa del genere: \[[n]\stackrel{g^{-1}}{\rightarrow}G\stackrel{f}{\rightarrow}G\stackrel{g}{\rightarrow}[n]\] purtroppo qui sul forum non li saprei disegnare! -_-

[melli13]

Ah grazie...!!! Ora ho capito...!
Verifico che è un omomorfismo:$ g^\star$$(fh)=gfhg^-1=gfg^(-1)ghg^(-1)$=$g^\star(f)g^\star(h)$
Grazie ancora!

[j18eos]

Prego, di nulla!