Gruppo dei quaternioni

[squalllionheart]

Rega
ho un esercizio ma....vorrei sapere delle cose...
Dato il gruppo dei quaternioni $H_8={1,-1,i,j,k,ij,jk,ki}$
Inoltre $i^2=j^2=k^2$ e $ji=-k,kj=-i,ik=-j$
1) Si dimostri che ${-1,1}$ è un sottogruppo normale e caratteristico.
2) Si determino tutti i sottogruppi del gruppo quoziente.

Per la 1) ho verificato $gNg^-1inN$
L'ho fatto manualmente, potevo farlo in modo più breve?
Mi sfugge il fatto del sottogruppo caratteristico.
Per la 2) $H_8/{-1,1}$ è un gruppo perchè il quoziente è normale. La cardinalità è $|H_8/{-1,1}|=|H_8|/|{-1,1}|=8/2=4$
Ma nn so calcolarlo sto cavolo di gruppo quozienti mi dite chi sono gli elementi?
Grazie e a presto

[squalllionheart]

ci ho pensato forse sono $H_8/N={bar0, bari, barj, bark}$
con $N={-1,1}$
Che ne pensate?

[miuemia]

beh potevi vedere che gli elementi di $N$ commutano con tutti gli elementi del gruppo quindi ovviamente è normale...
per il quoziente è corretto quello che hai scritto... e a quale gruppo è isomorfo????

[mattiaBICOCCA]

Ciao, il gruppo dei quaternioni ha una presentazione abbastanza semplice dalla quale dedurre facilmente che tutti i suoi sottogruppi sono normali, inoltre e' un gruppo meta-abeliano, ovvero il gruppo quzientato con il suo centro cioe' proprio ${-1,1}$ risulta abeliano.
Quzientando con il centro otterrai proprio il corpo dei quaternioni hamiltoniani cioe' $H=R+R.i+R.j+R.k$ dove $R$ e' il campo dei reali, la base dunque e' proprio ${ 1, i, j, k}$, dovrebbe risultarti chiaro come a questo punto l'ordine sia $4$.
Spero che queste indicazioni ti siano utili.

[squalllionheart]

miuemia ovviamente se dico delle sciempiaggini correggimi.
Credo che $G/N={bar0, bari, barj, bark}$ ha ordine quattro inoltre apparte la la classe $bar0$ tutti gli altri elementi hanno periodo due quindi credo che sia isomorfo a $V$ il gruppo di Klain che dici?Ho scritto una cavolata?

[miuemia]

devi controllare però che $bari$ $barj=bark$...