Gruppo degli automorfismi degli invertibili delle classi di resto

[zimp]

Buongiorno a tutti!

Durante il corso di Algebra mi sono imbattuto in questo gruppo:

fissato $ n in (NN - { 0 }) $ ,

$ Aut (( ZZ | n ZZ )°) $

cioè il gruppo degli automorfismi sugli elementi invertibili delle classi di resto modulo n.

Che gruppo è, al variare di $ n in (NN - { 0 }) $ ?

Grazie a coloro che risponderanno.

[Shocker1]

Non è un problema di immediata soluzione.
Intanto ci sono tre risultati da usare per arrivare alla vera domanda:
1)$Aut(\mathbb{Z}_{p^{\alpha}})$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_{p^{\alpha}}^{**}$
2)Sia $n = p_1^{\alpha_i} * ... * p_k^{\alpha_k}$ con $p_i$ primo, allora $\mathbb{Z_n}$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_{p_1^{\alpha_i}} xx ... xx \mathbb{Z}_{p_k^{\alpha_k}}$ e $\mathbb{Z_n}^{**}$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_{p_1^{\alpha_i}}^{**} xx ... xx \mathbb{Z}_{p_k^{\alpha_k}}^{**}$
3)$Aut(\mathbb{Z}_n)$ è isomorfo a $\mathbb{Z_n}^{**}$, cioè a $\mathbb{Z}_{p_1^{\alpha_i}}^{**} xx ... xx \mathbb{Z}_{p_k^{\alpha_k}}^{**}$.

Quindi il problema diventa: a chi è isomorfo $Aut(\mathbb{Z_{p^{\alpha}}}) ∼ \mathbb{Z}_{p^{\alpha}}^{**}$? Prova a pensarci su .
Una volta capito chi è basta riapplicare i risultati $1, 2, 3$ per ottenere $Aut(\mathbb{Z_n}^*) ∼ Aut(Aut(\mathbb{Z_n}))$