Gruppo ciclico o spazio ciclico
a lezione il professore ci ha detto che lo spazio generato da:
$span{x_0,...,A^(l-1) * x_l-1}$
si dice spazio vettoriale ciclico.
A riguardo ho qualche domanda:
Come si definisce uno spazio ciclico?
Quello dato e' uno spazio ciclico nel senso che rientra nella definizione di spazio ciclico o nel senso che e' la definizione di spazio ciclico?
c'entra qualcosa con la definizione di gruppo ciclico http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_ciclico ?
grazie in anticipo delle eventuali risposte
$span{x_0,...,A^(l-1) * x_l-1}$
si dice spazio vettoriale ciclico.
A riguardo ho qualche domanda:
Come si definisce uno spazio ciclico?
Quello dato e' uno spazio ciclico nel senso che rientra nella definizione di spazio ciclico o nel senso che e' la definizione di spazio ciclico?
c'entra qualcosa con la definizione di gruppo ciclico http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_ciclico ?
grazie in anticipo delle eventuali risposte
Risposte
Non capisco bene la definizione che hai dato di spazio vettoriale ciclico (e non ricordo di averne mai sentita una) ma immagino dalla definizione che sia collegato ad un gruppo ciclico nel senso che è lo spazio vettoriale generato dall'orbita di \(\displaystyle x_0 \) riferita all'azione di un gruppo ciclico.
Ma in questo caso avrebbe più senso fosse: \(\displaystyle \textrm{Span}(\mathbf{x}_0, \dots , A^{l-1}\mathbf{x}_0) \) dove $l$ è la cardinalità dell'orbita e un divisore dell'ordine di $A$ (che potrebbe anche essere infinito). O anche \(\displaystyle \textrm{Span}(\mathbf{x}_0, \dots , A\mathbf{x}_{l-2}) \) con $l$ definito come prima.
Quindi non so... Ma cosa sai di teoria dei gruppi?
Ma in questo caso avrebbe più senso fosse: \(\displaystyle \textrm{Span}(\mathbf{x}_0, \dots , A^{l-1}\mathbf{x}_0) \) dove $l$ è la cardinalità dell'orbita e un divisore dell'ordine di $A$ (che potrebbe anche essere infinito). O anche \(\displaystyle \textrm{Span}(\mathbf{x}_0, \dots , A\mathbf{x}_{l-2}) \) con $l$ definito come prima.
Quindi non so... Ma cosa sai di teoria dei gruppi?
no scusa ho fatto casino con la battitura volevo proprio scrivere:
$span{x_0,...,a^(l-1)*x_0}$
di teoria dei gruppi purtroppo molto molto poco T_T (diciamo che quello che sono me lo sono imparato da solo uqindi fai un po' te
)
mi potresti spiegare meglio quanto dicevi?
grazie:-)
$span{x_0,...,a^(l-1)*x_0}$
di teoria dei gruppi purtroppo molto molto poco T_T (diciamo che quello che sono me lo sono imparato da solo uqindi fai un po' te
)mi potresti spiegare meglio quanto dicevi?
grazie:-)
Una azione è una rappresentazione del gruppo come gruppo di trasformazioni (lineari in questo caso) dello spazio.
In pratica se tu hai $\mathbb{Z}_n$ per un qualche $n$ allora una sua azione è praticamente il gruppo di trasformazioni di elementi $A, A^2, A^3, A^4... A^{l-1}$ (che tra l'altro è il gruppo ciclico generato da $A$). L'azione è possibile solo se $l$ divide $n$ e $A^l = \text{id}$.
Quindi fondamentalmente uno spazio ciclico associato al punto $x_0$ e alla trasformazione lineare $A$ è semplicemente lo spazio generato dagli elementi di $V$ raggiungibili tramite una potenza di $A$ a partire da $x_0$. Che poi è quello che dice la definizione.
L'unica cosa che forse non avevi capito era che $1, A, A^2, ... , A^{l-1}$ è un gruppo ciclico, sottogruppo di $GL(n, RR)$ e generato da $A$.
In pratica se tu hai $\mathbb{Z}_n$ per un qualche $n$ allora una sua azione è praticamente il gruppo di trasformazioni di elementi $A, A^2, A^3, A^4... A^{l-1}$ (che tra l'altro è il gruppo ciclico generato da $A$). L'azione è possibile solo se $l$ divide $n$ e $A^l = \text{id}$.
Quindi fondamentalmente uno spazio ciclico associato al punto $x_0$ e alla trasformazione lineare $A$ è semplicemente lo spazio generato dagli elementi di $V$ raggiungibili tramite una potenza di $A$ a partire da $x_0$. Che poi è quello che dice la definizione.
L'unica cosa che forse non avevi capito era che $1, A, A^2, ... , A^{l-1}$ è un gruppo ciclico, sottogruppo di $GL(n, RR)$ e generato da $A$.
perche' e' necessario che l divida n e che $A^l = I$ ?
a noi lo spazio ciclico ce lo hanno definito come lo span dei primi l elementi della serie
$x_0 A^1*x_0 ... A^n*x_0 ... $
dove $ A^l*x_0 $ e' il primo elemento dipendente linearmente dai precedenti (si dimostra che ogni elemento successivo ad esso nella serie e' linearmente dipendente a sua volta)
quindi l'unica condizione che e' stata posta su l e':
$l<=n$
a noi lo spazio ciclico ce lo hanno definito come lo span dei primi l elementi della serie
$x_0 A^1*x_0 ... A^n*x_0 ... $
dove $ A^l*x_0 $ e' il primo elemento dipendente linearmente dai precedenti (si dimostra che ogni elemento successivo ad esso nella serie e' linearmente dipendente a sua volta)
quindi l'unica condizione che e' stata posta su l e':
$l<=n$
Ok, come ho detto non ho mai sentito la definizione di spazio ciclico (mi basavo sulla definizione che avevi dato). Pensavo che l'ipotesi $A^{n+1}x_0 = x_0$ fosse necessaria.
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