Gruppo ciclico, esercizio

[salmoiraghi]

Ho un dubbio sul seguente esercizio su cui le note del Prof. fanno dei ragionamenti che non ho capito :

si chiede dato un gruppo ciclico di ordine 25 se esistono
- morfismi suriettivi $G->ZZ_7$
- morfismi suriettivi $G->ZZ_5$
- morfismi suriettivi $G->ZZ_5xxZZ_5$

Riporto i ragionamenti che vorrei chiedere e chiarire:
- per il primo dice che non esiste un tal morfismo poiché sfruttando lagrange ho che $f^-1(ZZ_7)$ è sottogruppo di G, essendo tale sottogruppo di cardinalità 7 non divide 25 e quindi non esiste tale funzione.
il mio dubbio che voglio sollevare è però che si richiede la suriettività, io ho un morfismo di gruppi e $ZZ_7$ è sottogruppo di $ZZ_7$ (banalmente) quindi è vero che $f^-1(ZZ_7)$ è sottogruppo (teorema che so dimostrare), ma dato che la richiedo suriettiva tale funzione in teoria $|f^-1(ZZ_7)|$ è almeno di cardinalità 7 ma potrebbe benissimo essere superiore, nessuno me lo vieta: quindi non capisco perché il Prof valuti solo $|f^-1(ZZ_7)|=7$

- sulla seconda capita la prima è ok poiché ciclico e 5|25.

- la terza apre un secondo dubbio, poiché la cardinalità è 25 per il prodotto cartesiano e va anche bene, tuttavia dice che $ZZ_5xxZZ_5$ non è ciclico, ma come faccio a far vedere che non è ciclico? Questa parte mi sfugge.

Vi ringrazio tanto.

[salmoiraghi]

Nessun aiuto ? Vi prego ditemi se sono stato poco chiaro.

[ghira1]

"salmoiraghi":tuttavia dice che $ZZ_5xxZZ_5$ non è ciclico, ma come faccio a far vedere che non è ciclico?

Ci sono elementi di ordine 25 in $ZZ_5xxZZ_5$?

[salmoiraghi]

Illuminante, hai ragione: direi di no massimo ha ordine 5: e sfrutto ord(g)=|G|<=>=G
ma ord(g)<25 per ogni g in G, quindi $!=G$ insomma non è ciclico. Ove con G indico $Z_5xxZ_5$ in questo post.

Mentre per la 1)? Posso chiederti chiarimenti? Grazie mille

[megas_archon]

Supponi che esista \(f : G \to C_7\) suriettivo; allora per Lagrange 7 deve dividere \(|G|=25\), siccome questo non succede, \(f\) non esiste.

Più in generale, se $S$ è un gruppo semplice e \(f : G \to S\) è un omomorfismo si danno due casi: o è zero, o è suriettivo. Se non è zero, il quoziente \(G/\ker f\) è isomorfo a $S$. Allora però la cardinalità di $G$ deve essere divisibile per quella di $S$, per Lagrange.

[salmoiraghi]

Però non capisco una cosa: essendo la richiesta su f di essere suriettiva $|f^-1(ZZ_7)|$ è almeno di cardinalità 7, quindi potrei definirne una di controimmagine maggiore, anche 25. Poi certo capito questo essendo $f^-1(ZZ_7)$ sottogruppo (poiché $ZZ_7<=ZZ_7$ e morfismo di gruppi) sono a cavallo. Però mi manca proprio di capire il perché ciò non sia fattibile.

[megas_archon]

Qualsiasi sia \(f : G \to H\), \(f^{-1}(H)=G\). E' \(f^{-1}(1_H)=\ker f\) a dover essere un sottogruppo di $G$, e a dovere, quindi, avere un numero di elementi che divide \(|G|\).

[salmoiraghi]

Ah ok rileggendo la penultima ho capito forse: stai sfruttando il teorema fondamentale di isomorfismo e in effetti quell'isomorfismo che costruisci garantisce che $|S|=[G:kef(f)]$, ergo: $|G|=[G:kef(f)]*|ker(f)|$?

Ti ringrazio per l'aiuto non ci ero proprio arrivato!