Gruppo ciclico e suoi sottogruppi

[gbspeedy]

Ho un gruppo ciclico di ordine 36 generato dall'elemento g. Devo:

a)elencare i sottogruppi di G specificandone il generatore
b)elencare gli elementi el sottogruppo di ordine 9 come potenze di g
c)elencare i genenratori come potenze di g

a)so che il sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico e che esiste un sottogruppo per ogni divisore dell'ordine di G.
Quindi ho un sottogruppo di ordine 1 generato da 1, di ordine 2 generato da un elemento $g^h$ tale che $(g^h)^2=1$,.....di ordine 6 generato da $g^k$ tale che $(g^k)^6=1$ e così via?

[dan952]

a) Come giustamente hai fatto notare per i gruppi ciclici $H < G$ se e solo se $|H| | |G|$, quindi i sottogruppi saranno:
- Ordine 1: $H_1={e}$
- Ord. 2: $H_2={e, g^{18}}$
- Ord. 3: $H_3={e, g^{12}, (g^{12})^2}$
.......

b) Considerando che il generatore del sottogruppo di ordine 9 è $g^4$ si ha ${e, g^4, g^8, g^{12}, g^{16}, g^{20}, g^{24}, g^{28}, g^{32}}$

c) Vedasi punto a) e b)

[plesyo96]

"dan95":a) Come giustamente hai fatto notare per i gruppi ciclici $H < G$ se e solo se $|H| | |G|$, quindi i sottogruppi saranno:
- Ordine 1: $H_1={e}$
- Ord. 2: $H_2={e, g^{18}}$
- Ord. 3: $H_3={e, g^{12}, (g^{12})^2}$
.......

b) Considerando che il generatore del sottogruppo di ordine 9 è $g^4$ si ha ${e, g^4, g^8, g^{12}, g^{16}, g^{20}, g^{24}, g^{28}, g^{32}}$

c) Vedasi punto a) e b)

Nel caso del sottogruppo di ordine 9, il generatore è $g^4$ giusto?