Gruppo ciclico e sottogruppo generato
Salve a tutti 
. Chiedo scusa, se abbiamo un gruppo ciclico $$ di ordine pq con p e q primi distinti, perchè tale gruppo ciclico di ordine pq è uguale al sottogruppo generato $<< x^p , x^q>>$ ?? 
Ho utilizzato un teorema che afferma che se G è un gruppo ciclico finito di ordine m ossia se m è il periodo di x allora G = {$x^0$, $x^1$,.....,$x^(m-1)$} e m è il minimo intero positivo tale che $x^m$ = 1. Poi ho utilizzato la definizione di sottogruppo generato e quindi (per tale definizione) il generico elemento di $<< x^p , x^q>>$ è prodotto finito di elementi appartenenti a {$x^p$,$x^q$} oppure di inversi di elementi appartenenti a {$x^p$,$x^q$}. Però tuttavia non riesco a capire il mio dubbio esposto a inizio messaggio ossia perchè se abbiamo un gruppo ciclico $$ di ordine pq con p e q primi distinti, perchè tale gruppo ciclico (di ordine pq) è uguale al sottogruppo generato $<< x^p , x^q>>$ :/ .
Chiedo tanto tanto gentilmente se qualcuno può aiutarmi.
Grazie grazie grazie mille
. Chiedo scusa, se abbiamo un gruppo ciclico $ Ho utilizzato un teorema che afferma che se G è un gruppo ciclico finito di ordine m ossia se m è il periodo di x allora G = {$x^0$, $x^1$,.....,$x^(m-1)$} e m è il minimo intero positivo tale che $x^m$ = 1. Poi ho utilizzato la definizione di sottogruppo generato e quindi (per tale definizione) il generico elemento di $<< x^p , x^q>>$ è prodotto finito di elementi appartenenti a {$x^p$,$x^q$} oppure di inversi di elementi appartenenti a {$x^p$,$x^q$}. Però tuttavia non riesco a capire il mio dubbio esposto a inizio messaggio ossia perchè se abbiamo un gruppo ciclico $.Chiedo tanto tanto gentilmente se qualcuno può aiutarmi.
Grazie grazie grazie mille
Risposte
Che sia $ \subset $ è ovvio, per il viceversa ricordati che da mcd(p,q) = 1 segue che esistono n, m interi tali che $pn+qm=1$.
Grazie mille. Per la prima inclusione $<< x^p , x^q>>$ $subset$ $$ ho pensato alla definizione di sottogruppo di G generato da una parte X del gruppo G, nel nostro caso X = {$x^p$,$x^q$}. Pertanto (da tale definizione) $<< x^p , x^q>>$ ossia il sottogruppo di G generato da {$x^p$,$x^q$} è, rispetto all'inclusione, il minimo sottogruppo di G contenente {$x^p$,$x^q$}. Pertanto $<< x^p , x^q>>$ risulta essere incluso in G = $$ = {$x^0$, $x^1$,.....,$x^(pq-1)$}. Ho pensato bene??
Invece per l'altra inclusione $$ $subset$ $<< x^p , x^q>>$ ho scritto $$= <$x^1$>=<$x^(np+mq)$>. Dunque essendo in generale per definizione $$={ $x^n$/n $in$ $ZZ$} e utilizzando tale definizione per <$x^(np+mq)$> abbiamo che il generico elemento di <$x^(np+mq)$> è un elemento di $<< x^p , x^q>>$ e cioè quindi che $$=<$x^(np+mq)$> $subset$ $<< x^p , x^q>>$??
Ancora grazie grazie mille
Invece per l'altra inclusione $
Ancora grazie grazie mille
La seconda parte mi sembra ok, la prima invece non ho ben capito il tuo ragionamento; comunque nota che se G è un gruppo e S è un insieme contenuto nel sottogruppo H di G allora $<> \le H$, infatti ogni elemento di $<>$ è prodotto finito di elementi di S e quindi di H e H è chiuso rispetto all'operazione del gruppo.
Perciò da $x^p, x^q \in <>$ segue $<> \le <>$, viceversa da $x=x^(np+mq) \in <> $ segue $<> \le <>$.
Perciò da $x^p, x^q \in <
Per la prima inclusione ho utilizzato la definizione di sottogruppo di G generato da una parte X di G, con nel mio caso X={$x^p$,$x^q$} e tenendo conto che G={$x^0$, $x^1$,.....,$x^(pq-1)$}. Grazie mille . Chiedo scusa, per applicare il risultato teorico da Lei scritto, precisamente dovremmo considerare il sottoinsieme {$x^p$,$x^q$} $sube$ $<>$ da cui seguirebbe $<< x^p , x^q>>$ $<=$ $<>$ e considerare {x}={$x^(np+mq)$}$sube$ $<< x^p , x^q>>$ da cui seguirebbe che $<>$ $<=$ $<< x^p , x^q>>$ ? Grazie mille
. Chiedo scusa, per applicare il risultato teorico da Lei scritto, precisamente dovremmo considerare il sottoinsieme {$x^p$,$x^q$} $sube$ $<
Si intendevo quei sottoinsiemi.
(comunque non serve che mi dai del lei)
(comunque non serve che mi dai del lei)
Ancora grazie mille. Avevo chiesto per un mio dubbio nel senso se avevo capito bene tutta la "dimostrazione" dell'uguaglianza da me chiesta. Ancora grazie
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