Gruppo ciclico, dubbio teorico

[salmoiraghi]

Avrei un dubbio che mi è sorto svolgendo alcuni esercizi e sarebbe il seguente.

Non riesco a trovare un motivo per cui dato ord(g)=m finito, $ = <=> g=(g^n)^t$, ed esiste tale t opportuno.

Es. pratico:

Sia ad esempio $Z_7={0,1,2,3,4,5,6}$ se prendo ad esempio $4$ ho che $2*4=8=1$ in effetti 1 genera $Z_7$ così come 4 lo genera e hanno stesso ordine, ma perché hanno stesso ordine 4 e 1, come lo deduco dall'asserto di cui sopra?

Mi incastro in particolare sul fatto che valendo l'asserto sopra deve anche essere che: $o r d (g)= o r d (g^n)$ poiché se generano lo stesso gruppo ciclico avranno medesimo ordine i due generatori, ma non riesco a giustificarlo in generale perché accada: partendo da $ = <=> g= (g^n)^t$, come mostro quindi i seguenti due punti:
1) che l'ordine dei due g e g^n è il medesimo?
2) e la doppia implicazione => and <=

Ho provato da solo e cercato dispense online ma non ho trovato risposte.

[ghira1]

"salmoiraghi":
Non riesco a trovare un motivo per cui $ = <=> g=(g^n)^t$, ed esiste tale t opportuno.

Nota: Io della teoria dei gruppi non capisco essenzialmente niente. Prendere sul serio qualcosa che dico a proposito della teoria dei gruppi e come prendere sul serio qualcosa che un ritardista dice sulla probabilità.

Comunque:

Se $ = $ vuol dire abbastanza ovviamente che $a=b^n$ e $b=a^m$ per qualche $n$ e $m$: Ognuno è nel gruppo generato dall'altro quindi $n$ e $m$ devono esistere.

Qualsiasi potenza di $g^n$ è ovviamente una potenza di $g$. Se $g=(g^n)^t$ è anche vero che qualsiasi potenza di $g$ è una potenza di $g^n$. A questo punto sembra abbastanza evidente che i gruppi generati da $g$ e $g^n$ devono essere uguali.

[salmoiraghi]

Ciao grazie per aiutarmi, allora devo dire che mi pare di capire bene:

=>)
$ = $ allora ovviamente $g=(g^n)^t$ questo perché se sono uguali i due gruppi, preso un elemento g del primo ed essendo entrambi cilici e finiti allora dovrà esistere un certo t che renda vero il discorso.

pero non riesco a vedere
<=) perché mi dico:
se $g=(g^n)^t$ vuol dire solo che un certo $g^n$ dopo una certa "ripetizione t" mi cade su $g$, ora va da se che cadendo su $g$ ogni sua potenza mi ri-genera tutti gli elementi di .
Però non capisco come faccia $g=(g^n)^t$ ad avere stesso periodo di g, toriamo all'esempio sopra:

Io ho $4$, $2*4=1$ ricado su g=1, quindi ora $n*g$ mi da tutto es: $2*g=2*1=2*(2*4)$ ecc.
Tuttavia il periodo lo deduco da $4$, $2*4$, $3*4$, $4*4$ finché non arrivo a $7*4=0$ e mi stupisce che il periodo sia 7 di nuovo, non riesco a vedere come questo accada, cioè collegare i due periodi di g=1 e g'=4

Insomma la domanda è stupida e me ne rendo conto perché se affermo che $g^n$ genera tutto allora $g^n $ ha per forza stesso ordine di g (sono lo stesso insieme!), tuttavia quello che vorrei fare è trovare un legame diretto sulle potenze che mi faccia intuire come in effetti gli ordini di $g$ e $g^n$ sono i medesimi.

[luca691]

Se $m=o(g)$, per definizione l'ordine di $g^n$ è il più piccolo $l$ tale che $nl=rm$ per qualche $r$. Pertanto, $l$ è della forma \[\frac{m}{n/r} \tag1\] e quindi $o(g^n)$ ("...il più piccolo...") si otterrà quando il denominatore in $(1)$ è il più grande divisore di $n$ che sia anche divisore di $m$:
\[o(g^n)=\frac{m}{\gcd(n,m)}\]
Quindi, \(\langle g^n\rangle =\langle g\rangle \iff\) $n$ e $m$ sono coprìmi \(\iff\exists t,u\mid tn+um=1\) \(\iff\exists t,u\mid g^{tn+um}=g\) \(\iff\exists t \mid(g^n)^t=g\).

Ad esempio, $[1]$ e $[3]$ sono entrambi generatori di \(\Bbb Z/4\Bbb Z\) e $[1]=3[3]$ (ovvero, $t=3$).