Gruppo ciclico di matrici
Salve a tutti, ho bisogno del vostro aiuto, è già la seconda volta che mi capita un esercizio del genere e mi dispiace non riuscire ancora a dare una risposta a chi preoccupato mi chiede aiuto, quindi chiedo a voi.
Dato il gruppo delle matrici del secondo ordine con elementi in \(\displaystyle Z_3 \), dovrei dimostrare che il sottogruppo:
$(B, *) = { ( ( a, -b ),( 0, a ) ) | a, b \in Z_3}$
è un gruppo ciclico di ordine 8, e quindi trovarne i generatori.
Ovviamente, dato un generatore g, i generatori di un gruppo ciclico di ordine 8 sono: \(\displaystyle g, g^3, g^5, g^7 \), tuttavia rimangono dei misteri irrisolti.
Ho fatto dei calcoli, ho considerato tutte le matrici a mia disposizione, il cui numero ammonta a 9 perché ho da scegliere sia a che -b tra i numeri 0, 1 e 2. Facendo una serie di conti mi accorgo che la matrice con il periodo più grande tra quelle a mia disposizione è la matrice $ ( (2, 2),(0, 2) ) $ di ordine 4. Tutte le altre hanno periodo 2, massimo 3.
Un ipotetico generatore di questo gruppo ciclico dovrebbe avere ordine 8, quindi chiamato g questo generatore:
$ g^8 = I $.
Siccome g appartiene a B, deve essere una matrice nella forma $ ( (a, -b),(0, a) ) $, ma una qualsiasi matrice del genere quando viene elevata all'ottava potenza diventa:
$ g^8 = ((a^8, -8a^7b),(0,a^8)) $
Sono dunque arrivato alle seguenti conclusioni:
1) l'elemento a può essere sia 1 che 2, poiché $1^8 = 1; 2^8 = 256 = 1 mod 3$
2) l'elemento b deve essere un multiplo di 3, che equivarrebbe a dire 0, perché $Z_3$ è un campo e se $ -8a^7b = 0 mod 3 $, allora per la legge di annullamento del prodotto o a o -b deve essere uguale a 0, ma siccome a deve essere già o 1 o 2, allora b deve essere 0.
Le uniche matrici che rispettano queste condizioni sono la matrice unitaria, che ovviamente non può avere periodo 8, e la matrice $ ((2, 0), (0, 2))$, che però ha ordine 2.
Forse c'è qualche errore concettuale, quindi il ragionamento è fallace. In tal caso vi chiedo di colmare questa mia lacuna, questo esercizio mi sta mandando in pappa il cervello
Dato il gruppo delle matrici del secondo ordine con elementi in \(\displaystyle Z_3 \), dovrei dimostrare che il sottogruppo:
$(B, *) = { ( ( a, -b ),( 0, a ) ) | a, b \in Z_3}$
è un gruppo ciclico di ordine 8, e quindi trovarne i generatori.
Ovviamente, dato un generatore g, i generatori di un gruppo ciclico di ordine 8 sono: \(\displaystyle g, g^3, g^5, g^7 \), tuttavia rimangono dei misteri irrisolti.
Ho fatto dei calcoli, ho considerato tutte le matrici a mia disposizione, il cui numero ammonta a 9 perché ho da scegliere sia a che -b tra i numeri 0, 1 e 2. Facendo una serie di conti mi accorgo che la matrice con il periodo più grande tra quelle a mia disposizione è la matrice $ ( (2, 2),(0, 2) ) $ di ordine 4. Tutte le altre hanno periodo 2, massimo 3.
Un ipotetico generatore di questo gruppo ciclico dovrebbe avere ordine 8, quindi chiamato g questo generatore:
$ g^8 = I $.
Siccome g appartiene a B, deve essere una matrice nella forma $ ( (a, -b),(0, a) ) $, ma una qualsiasi matrice del genere quando viene elevata all'ottava potenza diventa:
$ g^8 = ((a^8, -8a^7b),(0,a^8)) $
Sono dunque arrivato alle seguenti conclusioni:
1) l'elemento a può essere sia 1 che 2, poiché $1^8 = 1; 2^8 = 256 = 1 mod 3$
2) l'elemento b deve essere un multiplo di 3, che equivarrebbe a dire 0, perché $Z_3$ è un campo e se $ -8a^7b = 0 mod 3 $, allora per la legge di annullamento del prodotto o a o -b deve essere uguale a 0, ma siccome a deve essere già o 1 o 2, allora b deve essere 0.
Le uniche matrici che rispettano queste condizioni sono la matrice unitaria, che ovviamente non può avere periodo 8, e la matrice $ ((2, 0), (0, 2))$, che però ha ordine 2.
Forse c'è qualche errore concettuale, quindi il ragionamento è fallace. In tal caso vi chiedo di colmare questa mia lacuna, questo esercizio mi sta mandando in pappa il cervello
Risposte
Ciao, sicuramente c'è qualcosa che non quadra nel testo perché, come dici tu, ottieni $9$ elementi invece che $8$. O più semplicemente, osserva che in quell'insieme c'è la matrice con tutti zeri, che sicuramente non è compatibile con la struttura di gruppo moltiplicativo.
Sicuro che il testo è quello?
Sicuro che il testo è quello?
Scusate la scarsa qualità dell'immagine, è molto piccolo il testo e ho dovuto ingrandirlo.
Non credo che la matrice nulla sia compresa nel gruppo perché si tratta di B*, ho dimenticato di menzionarlo. Ad ogni modo, tutti i miei ragionamenti sono stati formulati partendo dal presupposto che non bisogna considerare la matrice nulla, quindi i miei dubbi rimangono.
Ma [tex]B^{\ast}[/tex] ha $6$ elementi, non $8$. Probabilmente è un errore di stampa. Hai considerato $((2,1),(0,2))$?
Credo che se si esclude la matrice nulla, allora rimangono 8 possibili matrici che formano B*. Una matrice $ ((0,-b),(0,0)) $ dovrebbe appartenere a B*, ma qualsiasi matrice $ ((a,-b),(0,a)) $ moltiplicata per questa da come prodotto una matrice del tipo $ ((0,-ab),(0,0)) $, e questa matrice non potrà mai corrispondere ad una matrice unitaria, quindi è come se "appartenesse ad un ciclo diverso". Se, preso un generatore di B* e moltiplicato questo per sé stesso, si arrivasse ad una matrice del genere, non si potrebbe continuare il ciclo, si ripeterebbero solo matrici di questo tipo e nessun altra.
La matrice $ ((2,1),(0,2)) $ genera 6 elementi, e fin qui è corretto.
Credo che un semplice errore di scrittura abbia fatto un casino enorme. In realtà se si fosse preso in considerazione il gruppo delle matrici invertibili, cose come $ ((0,-b),(0,0)) $ non sarebbero possibili e quindi B* ammetterebbe giustamente soltanto 6 elementi. Ma siccome non hanno escluso la possibilità che la matrice potesse avere a = 0, si sono detti: "Qui ci sono 9 -1 = 8 matrici, ma sappiamo anche che è ciclico", quando la ciclicità è possibile solo escludendo le matrici non invertibili (altrimenti non sarebbe gruppo perché non ci sarebbero tutti gli inversi).
Si, è decisamente un errore di scrittura. Grazie per il supporto, buonanotte a tutti.
La matrice $ ((2,1),(0,2)) $ genera 6 elementi, e fin qui è corretto.
Credo che un semplice errore di scrittura abbia fatto un casino enorme. In realtà se si fosse preso in considerazione il gruppo delle matrici invertibili, cose come $ ((0,-b),(0,0)) $ non sarebbero possibili e quindi B* ammetterebbe giustamente soltanto 6 elementi. Ma siccome non hanno escluso la possibilità che la matrice potesse avere a = 0, si sono detti: "Qui ci sono 9 -1 = 8 matrici, ma sappiamo anche che è ciclico", quando la ciclicità è possibile solo escludendo le matrici non invertibili (altrimenti non sarebbe gruppo perché non ci sarebbero tutti gli inversi).
Si, è decisamente un errore di scrittura. Grazie per il supporto, buonanotte a tutti.
Sì ovviamente $B$ non è un campo. Ma chi scrive sti esercizi? 
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