Gruppo alterno $A_n$
Salve. Chiedo scusa, perchè il gruppo alterno su un insieme numerabile contiene una copia del gruppo alterno su 4 elementi, e perchè quest'ultimo risulta essere un gruppo non modulare?
Grazie grazie grazie mille
Grazie grazie grazie mille
Risposte
Il gruppo alterno di grado $4$ non è modulare perché contiene il seguente sottoreticolo: $A_4$, $K$ (gruppo di Klein), un sottogruppo di $K$ di ordine $2$, un $3$-Sylow e ${1}$ (è un reticolo pentagonale). Ogni gruppo alterno contiene tutti quelli di grado inferiore, perché se un gruppo $G$ agisce su un insieme $X$ e $X$ è sottoinsieme di $Y$ possiamo estendere l'azione di $G$ a $Y$ imponendo che tutti gli elementi di $Y-X$ vengano fissati.
Critica costruttiva: perché non provi a buttare giù qualche idea quando poni un quesito?
non sono cose difficili, se non provi a pensarci i progressi saranno lenti.
Critica costruttiva: perché non provi a buttare giù qualche idea quando poni un quesito?
non sono cose difficili, se non provi a pensarci i progressi saranno lenti.
E' che le idee sono non giuste, non corrette in quanto non portano al risultato e per questo non le scrivevo 
chiedo umilmente scusa, la domanda del contenere la copia del gruppo alterno di 4 elementi non ci doveva essere, cioè l'avevo scritta giusto per un confronto con voi ma la volevo togliere..però nel gran mal di testa mi è sfuggito di cancellare il "perchè" relativo a tale domanda
Per la spiegazione della non modularità, chiedo umilmente un consiglio..Tenendo presente la definizione del gruppo alterno, quindi parlando di permutazioni, del gruppo simmetrico $S_n$, quale era la strada che mi conduceva a pensare di dover prendere in particolare il gruppo di Klein, un suo sottogruppo di ordine 2, un 3-Sylow?
Grazie mille per l'attenzione e la disponbilità
chiedo umilmente scusa, la domanda del contenere la copia del gruppo alterno di 4 elementi non ci doveva essere, cioè l'avevo scritta giusto per un confronto con voi ma la volevo togliere..però nel gran mal di testa mi è sfuggito di cancellare il "perchè" relativo a tale domanda Per la spiegazione della non modularità, chiedo umilmente un consiglio..Tenendo presente la definizione del gruppo alterno, quindi parlando di permutazioni, del gruppo simmetrico $S_n$, quale era la strada che mi conduceva a pensare di dover prendere in particolare il gruppo di Klein, un suo sottogruppo di ordine 2, un 3-Sylow?
Grazie mille per l'attenzione e la disponbilità
Quando mi pongo la domanda "il reticolo di A4 è modulare?" prima di tutto cerco su google se trovo il disegno del reticolo, perché dal disegno capisci immediatamente se il reticolo è modulare. La prima ricerca su Google dà questo. Dal disegno riesci a dedurre se è modulare? Dopo aver capito dal disegno cosa succede ti ho scritto quei cinque sottogruppi.
Chiedo scusa, c'è scritto anche che poichè il gruppo alterno su un insieme numerabile è un gruppo infinito semplice (ossia tale che gli unici suoi sottogruppi normali sono i sottogruppi banali {1} e il gruppo alterno stesso), allora ciò implica che il reticolo dei sottogruppi virtualmente normali di tale gruppo è modulare (un sottogruppo virtualmente normale è un sottogruppo che ha un numero finito di coniugati nel gruppo). Perchè si ha ciò?
Io ho pensato che possiamo sfruttare l'ipotesi di gruppo semplice e il fatto che i sottogruppi normali sono sottogruppi virtualmente normali. Però ho pensato che tra i sottogruppi virtualmente normali ci sono anche i sottogruppi di indice finito..
Con queste ipotesi però non sono riuscita a dimostrare perchè il reticolo dei sottogruppi virtualmente normali del gruppo alterno su un insieme numerabile è modulare..
Dipende da qualche teorema che non conosco o non ricordo ora
?
Grazie immensamente
Io ho pensato che possiamo sfruttare l'ipotesi di gruppo semplice e il fatto che i sottogruppi normali sono sottogruppi virtualmente normali. Però ho pensato che tra i sottogruppi virtualmente normali ci sono anche i sottogruppi di indice finito..
Con queste ipotesi però non sono riuscita a dimostrare perchè il reticolo dei sottogruppi virtualmente normali del gruppo alterno su un insieme numerabile è modulare..
Dipende da qualche teorema che non conosco o non ricordo ora
?Grazie immensamente
Scusami, in base al disegno presente in https://math.stackexchange.com/question ... oups-of-a4, abbiamo 3 sottogruppi di ordine 2? Se sì, un elemento di un reticolo pentagonale può essere formato da tre sottogruppi?
Grazie mille
Grazie mille
Un reticolo pentagonale è un reticolo che ha la forma di un pentagono quindi ha 5 vertici e 5 lati.
Comunque la questione che hai sollevato è trattata qui.
quindi ha 5 vertici e 5 lati.Comunque la questione che hai sollevato è trattata qui.
Sì 
però il mio dubbio è:
Premetto che in generale in un reticolo pentagonale {$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$} , se consideriamo ad esempio $x_2$, sappiamo che $x_2$ $<=$ $x_3$. Nel nostro caso l'elemento $x_2$ sarebbe l'elemento costituito dai tre sottogruppi di ordine 2 presenti in https://math.stackexchange.com/question ... oups-of-a4. Quindi dire che l'elemento costituito dai tre sottogruppi di ordine 2 è $<=$ $x_3$ corrispondente al gruppo di Klein vuol dire che ciascuno dei (tre) sottogruppi di ordine 2 è un sottogruppo del gruppo di Klein?
Grazie
però il mio dubbio è: Premetto che in generale in un reticolo pentagonale {$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$} , se consideriamo ad esempio $x_2$, sappiamo che $x_2$ $<=$ $x_3$. Nel nostro caso l'elemento $x_2$ sarebbe l'elemento costituito dai tre sottogruppi di ordine 2 presenti in https://math.stackexchange.com/question ... oups-of-a4. Quindi dire che l'elemento costituito dai tre sottogruppi di ordine 2 è $<=$ $x_3$ corrispondente al gruppo di Klein vuol dire che ciascuno dei (tre) sottogruppi di ordine 2 è un sottogruppo del gruppo di Klein?
Grazie
Ma no! $x_2$ è uno dei tre sottogruppi di ordine 2. Uno qualsiasi. Per esempio <(14)(23)>.
Sì, certooo, scusami ho fatto una gaffe
Scusami, ho un dubbio sulla definizione di gruppo alterno su un insieme numerabile.. Per quanto studiato e cercando su varie fonti, per gruppo alterno si parla sempre e solo di gruppo alterno $A_n$ come sottogruppo del gruppo simmetrico $S_n$ dove il gruppo simmetrico $S_n$ è l'insieme delle permutazioni dell'insieme finito $I_n$ = {1,....,n}. $A_n$ è per definizione l'insieme delle permutazioni pari di $S_n$..
Per quanto riguarda il gruppo alterno su insieme numerabile quindi infinito, la sua definizione è identica a quella data per $A_n$ , solo che bisogna considerare un insieme infinito (numerabile) al posto di $I_n$ = {1,....,n} ?
ho fatto una gaffe Scusami, ho un dubbio sulla definizione di gruppo alterno su un insieme numerabile.. Per quanto studiato e cercando su varie fonti, per gruppo alterno si parla sempre e solo di gruppo alterno $A_n$ come sottogruppo del gruppo simmetrico $S_n$ dove il gruppo simmetrico $S_n$ è l'insieme delle permutazioni dell'insieme finito $I_n$ = {1,....,n}. $A_n$ è per definizione l'insieme delle permutazioni pari di $S_n$..
Per quanto riguarda il gruppo alterno su insieme numerabile quindi infinito, la sua definizione è identica a quella data per $A_n$ , solo che bisogna considerare un insieme infinito (numerabile) al posto di $I_n$ = {1,....,n} ?
Per quello che ne so io di solito si definisce il gruppo simmetrico finitario (finitary) come il gruppo delle permutazioni di un insieme X che muovono solo un numero finito di elementi di X (cioè fissano tutti gli elementi di X tranne un numero finito), e si definisce il gruppo alterno finitario su un insieme X come il sottogruppo del gruppo simmetrico finitario su X che consiste delle permutazioni pari (pari nel senso classico). Questo ha senso perché sappiamo cos'è una permutazione pari quando muove solo un numero finito di elementi.
Appunto..mi hai letto nel pensiero..perciò mi è venuto il dubbio e ho chiesto .. Però sui fogli da cui sto studiando c'è all'improvviso un esempio di gruppo alterno di insieme numerabile.. A questo punto, se mi chiedo o se mi venisse chiesto di cosa si tratta??
.. Però sui fogli da cui sto studiando c'è all'improvviso un esempio di gruppo alterno di insieme numerabile.. A questo punto, se mi chiedo o se mi venisse chiesto di cosa si tratta??
Se stai seguendo un corso di solito ci sono tutte le definizioni.
Purtroppo c'è solo quella sul caso finito.. Ho cercato su varie fonti che riportano anch'esse esclusivamente il caso finito 
Ho pensato che anche nel caso di insieme numerabile, quando si considerano le permutazioni pari, le si considerano nel senso classico e quindi che "lavorano" su un numero finito di elementi..
Sì concordo, come ti dicevo nel post precedente (dove ti ho scritto la definizione di gruppo alterno su un insieme infinito).
La definizione data nel post precedente considera un qualsiasi insieme X cioè che potrebbe essere finito o anche infinito, giusto?
Certo
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