Gruppo abeliano (forse)
Il problema e' semplice...
dato $(G,*)$ gruppo con operazione
dimostarre che se
$(a*b)^i=a^i * b^i$ per tre valori consecutivi di $i$, allora $G$ e' abeliano
Io l'ho risolto ma ho dei seri dubbi...dato che per qualcuno e' una sciocchezza aspetto di vedere qualche dimostrazione
dato $(G,*)$ gruppo con operazione
dimostarre che se
$(a*b)^i=a^i * b^i$ per tre valori consecutivi di $i$, allora $G$ e' abeliano
Io l'ho risolto ma ho dei seri dubbi...dato che per qualcuno e' una sciocchezza aspetto di vedere qualche dimostrazione
Risposte
Io direi così:
Il buon vecchio Herstein!
Secondo me il problema non è semplice, è uno dei primi problemi proposti da Herstein, ed è contrassegnato con un asterisco. Lo risolsi all'inizio dell'anno scorso in una buona mezz'ora, con mia grande soddisfazione finale. Rispolvero la dimostrazione, anzi, la rifaccio del tutto, questa mi sembra un pò meno contosa.
$forall a,b in G$, $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=aa^(i+1)b^(i+1)b=a(ab)^(i+1)b$. Ma abbiamo anche $(ab)^(i+2)=(ab)^(i+1)ab$, da cui cancellando a desta $b$ otteniamo $(ab)^(i+1)a=a(ab)^(i+1)$. Scrivo il primo membro di questa uguaglianza come $a^(i+1)b^(i+1)a=a(ab)^iba$ e il secondo come $a(ab)^iab$, e cancellando $a(ab)^i$ a sinistra otteniamo $ba=ab$, la tesi.
Secondo me il problema non è semplice, è uno dei primi problemi proposti da Herstein, ed è contrassegnato con un asterisco. Lo risolsi all'inizio dell'anno scorso in una buona mezz'ora, con mia grande soddisfazione finale. Rispolvero la dimostrazione, anzi, la rifaccio del tutto, questa mi sembra un pò meno contosa.
$forall a,b in G$, $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=aa^(i+1)b^(i+1)b=a(ab)^(i+1)b$. Ma abbiamo anche $(ab)^(i+2)=(ab)^(i+1)ab$, da cui cancellando a desta $b$ otteniamo $(ab)^(i+1)a=a(ab)^(i+1)$. Scrivo il primo membro di questa uguaglianza come $a^(i+1)b^(i+1)a=a(ab)^iba$ e il secondo come $a(ab)^iab$, e cancellando $a(ab)^i$ a sinistra otteniamo $ba=ab$, la tesi.
be'...che dire se non grazie...
Per la cronaca...la mia dimostrazione era completamente diversa e sicuramente sbagliata...mi ero fatto un'idea tutta mia sui gruppi (anche se bene o male non si allontana dalla realta')
ancora grazie
Per la cronaca...la mia dimostrazione era completamente diversa e sicuramente sbagliata...mi ero fatto un'idea tutta mia sui gruppi (anche se bene o male non si allontana dalla realta')
ancora grazie
Magari posta la tua e vediamo cosa non va. Mi interessa "l'idea tutta tua sui gruppi" 
allora...
dimostravo il tutto partendo dal presupposto che
1 l'inverso di $(a*b)^n$ e' $(a*b)^(-n)$
2 $k(a*b)^(-1)=a^(-1) k b^(-1)$
3 $(ab)^(h) * (ab)^(k) = (ab)^(h+k)$
se queste proprieta' son vere allora la mia dimostrazione e' giusta...ma ho dei seri dubbi sulla seconda...si da' per scontato che sia abeliano...
quindi prima di mostrare come ho risolto l'esercizio dovrei dimostrare queste proprieta'...ma dato che son sicuro che la seconda sia sbagliata non ci provo neanche...
Scusate ma l'esercizio l'ho risolto di sera tardi quindi ne e' uscito fuori uno schifo
dimostravo il tutto partendo dal presupposto che
1 l'inverso di $(a*b)^n$ e' $(a*b)^(-n)$
2 $k(a*b)^(-1)=a^(-1) k b^(-1)$
3 $(ab)^(h) * (ab)^(k) = (ab)^(h+k)$
se queste proprieta' son vere allora la mia dimostrazione e' giusta...ma ho dei seri dubbi sulla seconda...si da' per scontato che sia abeliano...
quindi prima di mostrare come ho risolto l'esercizio dovrei dimostrare queste proprieta'...ma dato che son sicuro che la seconda sia sbagliata non ci provo neanche...
Scusate ma l'esercizio l'ho risolto di sera tardi quindi ne e' uscito fuori uno schifo
a parte le mie sciocchezze....posso farti notare che forse qualcosa nella tua dimostrazione non va'?
Te non hai risolto il problema che ho posto...
Hai semplicemente dimostrato che
Ipotesi
$n>3$
$(G,*)$
$a,b in G$
$(a*b)^n=a^n * b^n$
Tesi
$G$ e' abeliano
Ti faccio notare che formalizzato a questa maniera si osserva che non hai utilizzato le ipotesi che ti ho dato io...
Invece quello che si deve dimostrare e' che
Ipotesi
$(G,*)$
$a,b in G$
$(a*b)^n=a^n * b^n$ per tre interi positivi
Tesi
$G$ e' abeliano
E ti faccio notare che se non e' valido per tre interi consecutivi il gruppo (forse perche' non ne son sicuro) potrebbe non essere abeliano
Te non hai risolto il problema che ho posto...
Hai semplicemente dimostrato che
Ipotesi
$n>3$
$(G,*)$
$a,b in G$
$(a*b)^n=a^n * b^n$
Tesi
$G$ e' abeliano
Ti faccio notare che formalizzato a questa maniera si osserva che non hai utilizzato le ipotesi che ti ho dato io...
Invece quello che si deve dimostrare e' che
Ipotesi
$(G,*)$
$a,b in G$
$(a*b)^n=a^n * b^n$ per tre interi positivi
Tesi
$G$ e' abeliano
E ti faccio notare che se non e' valido per tre interi consecutivi il gruppo (forse perche' non ne son sicuro) potrebbe non essere abeliano
"angus89":
a parte le mie sciocchezze....posso farti notare che forse qualcosa nella tua dimostrazione non va'?
Te non hai risolto il problema che ho posto...
Hai semplicemente dimostrato che
Ipotesi
$n>3$
Perchè? Dove l'ho detto?
"angus89":
$(a*b)^n=a^n * b^n$
No.
"angus89":
Ti faccio notare che formalizzato a questa maniera si osserva che non hai utilizzato le ipotesi che ti ho dato io...
Io non ho dettoquello che te hai detto sopra.
"angus89":
Invece quello che si deve dimostrare e' che
Ipotesi
$(G,*)$
$a,b in G$
$(a*b)^n=a^n * b^n$ per tre interi positivi
Tesi
$G$ e' abeliano
Msgari intendevi per 3 interi positivi consecutivi.
Ed è quello che ho fatto. Nella mia dimostrazione i 3 interi positivi consecutivi per cui vale la proprietà sono $i$,$i+1$ e $i+2$.
a me sembra che se ad esempio ometti l'ipotesi che il tutto sia valido per tre interi consecutivi la tua dimostrazione funziona lostesso, mentre secondo il mio testo non dovrebbe
Mi sn messo a vedere per dene anche la seguente
Il concetto di "divisione" mi sembra poco chiaro...
Come la intendi?
Io direi moltiplico per l'inverso.
Quindi per questo passaggio si avrebbe
$(a*b)^(i+2)*(a*b)^(-(i+2))=a^(i+2)*b^(i+2)*a^(-(i+2))*b^(-(i+2))$
e quindi
$(a*b)=a^(i+2)*b^(i+2)*a^(-(i+2))*b^(-(i+2))$
non sapendo se e' o meno abeliano non possiamo semplificare niente...
"Martino(senza spoiler)":
Io direi così:
Si ha:
(1) $(ab)^i = a^ib^i$
(2) $(ab)^{i+1} = a^{i+1}b^{i+1}$
(3) $(ab)^{i+2} = a^{i+2}b^{i+2}$
Dividendo (3) per (2) ottengo
(4) $ab = a^{i+2}ba^{-i-1}$
Il concetto di "divisione" mi sembra poco chiaro...
Come la intendi?
Io direi moltiplico per l'inverso.
Quindi per questo passaggio si avrebbe
$(a*b)^(i+2)*(a*b)^(-(i+2))=a^(i+2)*b^(i+2)*a^(-(i+2))*b^(-(i+2))$
e quindi
$(a*b)=a^(i+2)*b^(i+2)*a^(-(i+2))*b^(-(i+2))$
non sapendo se e' o meno abeliano non possiamo semplificare niente...
"angus89":
a me sembra che se ad esempio ometti l'ipotesi che il tutto sia valido per tre interi consecutivi la tua dimostrazione funziona lostesso, mentre secondo il mio testo non dovrebbe
Io nel corso della mia dimostrazione uso di continuo il fatto che $(ab)^i=a^ib^i$, $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$, $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$. La mia dimostrazione si fonda su quest'ipostesi.
"angus89":
Mi sn messo a vedere per dene anche la seguente
[quote="Martino(senza spoiler)"]Io direi così:
Si ha:
(1) $(ab)^i = a^ib^i$
(2) $(ab)^{i+1} = a^{i+1}b^{i+1}$
(3) $(ab)^{i+2} = a^{i+2}b^{i+2}$
Dividendo (3) per (2) ottengo
(4) $ab = a^{i+2}ba^{-i-1}$
Il concetto di "divisione" mi sembra poco chiaro...
Come la intendi?
Io direi moltiplico per l'inverso.
Quindi per questo passaggio si avrebbe
$(a*b)^(i+2)*(a*b)^(-(i+2))=a^(i+2)*b^(i+2)*a^(-(i+2))*b^(-(i+2))$
e quindi
$(a*b)=a^(i+2)*b^(i+2)*a^(-(i+2))*b^(-(i+2))$
non sapendo se e' o meno abeliano non possiamo semplificare niente...[/quote]
Osserva che qui per parlare di inverso deve essere:
$(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)$
e quindi il ragionamento di Martino fila!
"angus89":
Mi sn messo a vedere per dene anche la seguente
[quote="Martino(senza spoiler)"]Io direi così:
Si ha:
(1) $(ab)^i = a^ib^i$
(2) $(ab)^{i+1} = a^{i+1}b^{i+1}$
(3) $(ab)^{i+2} = a^{i+2}b^{i+2}$
Dividendo (3) per (2) ottengo
(4) $ab = a^{i+2}ba^{-i-1}$
Il concetto di "divisione" mi sembra poco chiaro...
Come la intendi?
Io direi moltiplico per l'inverso.[/quote]
Esatto, mi scuso per la poca chiarezza: intendevo che moltiplico a destra per l'inverso. In questo modo:
$(ab)^{i+2} (ab)^{-i-1} = a^{i+2}b^{i+2} (a^{i+1}b^{i+1})^{-1}$
Poi fatte le dovute semplificazioni viene proprio $ab = a^{i+2}ba^{-i-1}$.
"Martino":
$(ab)^{i+2} (ab)^{-i-1} = a^{i+2}b^{i+2} (a^{i+1}b^{i+1})^{-1}$
Poi fatte le dovute semplificazioni viene proprio $ab = a^{i+2}ba^{-i-1}$.
Ti spiacerebbe scrivere queste semplificazioni?
"angus89":
[quote="Martino"]
$(ab)^{i+2} (ab)^{-i-1} = a^{i+2}b^{i+2} (a^{i+1}b^{i+1})^{-1}$
Poi fatte le dovute semplificazioni viene proprio $ab = a^{i+2}ba^{-i-1}$.
Ti spiacerebbe scrivere queste semplificazioni?[/quote]
No, eccole:
Partiamo da qui: $(ab)^{i+2} (ab)^{-i-1} = a^{i+2}b^{i+2} (a^{i+1}b^{i+1})^{-1}$.
Primo membro: $(ab)^{i+2} (ab)^{-i-1} = (ab)^{i+2-i-1} = (ab)^1 = ab$.
Secondo membro: $a^{i+2}b^{i+2} (a^{i+1}b^{i+1})^{-1} = a^{i+2}b^{i+2}b^{-i-1}a^{-i-1} = a^{i+2} b^{i+2-i-1} a^{-i-1} = a^{i+2}ba^{-i-1}$
Quindi: $ab = a^{i+2}ba^{-i-1}$.
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