Gruppi, sottogruppi e classi laterali
Mi trovo alle prese con le classi laterali che ancora non ho ben capito:
Se ho un gruppo $G$ e un sottogruppo $H$, per definire le classi di equivalenza degli elementi di $G$, devo avere necessariamente una relazione di equivalenza definita su $G$ , giusto?
Se la risposta alla domanda di prima è si:
La relazione di equivalenza è definita per due elementi $x,y \in G$ se e solo se $x^(-1)*y \in H$ ?
Se ho un gruppo $G$ e un sottogruppo $H$, per definire le classi di equivalenza degli elementi di $G$, devo avere necessariamente una relazione di equivalenza definita su $G$ , giusto?
Se la risposta alla domanda di prima è si:
La relazione di equivalenza è definita per due elementi $x,y \in G$ se e solo se $x^(-1)*y \in H$ ?
Risposte
"klarence":
Mi trovo alle prese con le classi laterali che ancora non ho ben capito:
Se ho un gruppo $G$ e un sottogruppo $H$, per definire le classi di equivalenza degli elementi di $G$, devo avere necessariamente una relazione di equivalenza definita su $G$ , giusto?
Se la risposta alla domanda di prima è si:
La relazione di equivalenza è definita per due elementi $x,y \in G$ se e solo se $x^(-1)*y \in H$ ?
Prima domanda: sì, di più una congruenza dev essere, ossia se $E$ è l'equivalenza sul sostegno $G$, allora dev'essere $xEy, tEz => xt E yz$. In particolare per un sottogruppo $H$ la relazione è quella scritta, chiamasi $R'_H$.
Essa rende i LATERALI SINISTRI, infatti $x^(-1)*y \in H => EE h in H: x^(-1)*y=h => y=hx$, ossia la classe d'equivalenza del generico $x$ è descritta da $xH={xh, h in H}$
Analogamente ponesi $xR''_Hy iff x*y^(-1) in H$ e le classi d'equivalenza sono i LATERALI DESTRI Hx.
I sottogruppi normali sono quei sottogruppi per cui tali relazioni coincidono, ossia i laterali sinistri sono uguali ai laterali destri (se per esempio il gruppo è abeliano ciò avviene sempre infatti tutti i suoi sottogruppi sono normali).
Come studierai i sottogruppi normali sono di vitale importanza in teoria dei gruppi. Per esempio $R'_H, R''_H$ sono congruenze se e solo se H normale.
"zorn":
Prima domanda: sì, di più una congruenza dev essere, ossia se $E$ è l'equivalenza sul sostegno $G$, allora dev'essere $xEy, tEz => xt E yz$. In particolare per un sottogruppo $H$ la relazione è quella scritta, chiamasi $R'_H$.
Essa rende i LATERALI SINISTRI, infatti $x^(-1)*y \in H => EE h in H: x^(-1)*y=h => y=hx$, ossia la classe d'equivalenza del generico $x$ è descritta da $xH={xh, h in H}$
Puoi spiegare meglio quella prima frase per favore?
p.s. non ho capito bene come si fa , dato un gruppo finito e un sottogruppo, a trovare la classe laterale (destra o sinistra che sia) nel senso che non ho capito concretamente come si fa a procedere.... come devo procedere?
Grazie
"klarence":
[quote="zorn"]
Prima domanda: sì, di più una congruenza dev essere, ossia se $E$ è l'equivalenza sul sostegno $G$, allora dev'essere $xEy, tEz => xt E yz$. In particolare per un sottogruppo $H$ la relazione è quella scritta, chiamasi $R'_H$.
Essa rende i LATERALI SINISTRI, infatti $x^(-1)*y \in H => EE h in H: x^(-1)*y=h => y=hx$, ossia la classe d'equivalenza del generico $x$ è descritta da $xH={xh, h in H}$
Puoi spiegare meglio quella prima frase per favore?
p.s. non ho capito bene come si fa , dato un gruppo finito e un sottogruppo, a trovare la classe laterale (destra o sinistra che sia) nel senso che non ho capito concretamente come si fa a procedere.... come devo procedere?
Grazie[/quote]
Per i motivi che ti ho spiegato, la classe di equivalenza rispetto a $R'_H$ (quella che hai scritto) di $x$ è $xH$, che è un insieme che si ottiene facendo tutti i possibili prodotti di $x$ per elementi di $H$. Ora è un po' più chiaro?
"zorn":
[quote="klarence"][quote="zorn"]
Prima domanda: sì, di più una congruenza dev essere, ossia se $E$ è l'equivalenza sul sostegno $G$, allora dev'essere $xEy, tEz => xt E yz$. In particolare per un sottogruppo $H$ la relazione è quella scritta, chiamasi $R'_H$.
Essa rende i LATERALI SINISTRI, infatti $x^(-1)*y \in H => EE h in H: x^(-1)*y=h => y=hx$, ossia la classe d'equivalenza del generico $x$ è descritta da $xH={xh, h in H}$
Puoi spiegare meglio quella prima frase per favore?
p.s. non ho capito bene come si fa , dato un gruppo finito e un sottogruppo, a trovare la classe laterale (destra o sinistra che sia) nel senso che non ho capito concretamente come si fa a procedere.... come devo procedere?
Grazie[/quote]
Per i motivi che ti ho spiegato, la classe di equivalenza rispetto a $R'_H$ (quella che hai scritto) di $x$ è $xH$, che è un insieme che si ottiene facendo tutti i possibili prodotti di $x$ per elementi di $H$. Ora è un po' più chiaro?[/quote]
Leggo solo ora. Forse è più chiaro, ora che mi metto a fare qualche esercizio ti so dire se è veramente più chiaro. Grazie mille dell'aiuto che mi stai dando e scusa se faccio domande stupide.
P.s. quando dici che $xH$ è un insieme che si ottiene facendo tutti i possibili prodotti di $x$ per elementi di $H$, per ''prodotto'' intendi chiaramente l'operazione con cui l'insieme $G$ forma un gruppo, giusto?
"klarence":
P.s. quando dici che $xH$ è un insieme che si ottiene facendo tutti i possibili prodotti di $x$ per elementi di $H$, per ''prodotto'' intendi chiaramente l'operazione con cui l'insieme $G$ forma un gruppo, giusto?
Certo, lo chiamo così non essendoci ambiguità nel contesto, ben sapendo che non si dovrebbe parlare di "prodotto" ma per l'appunto dell'operazione su $G$ che lo munisce di struttura di gruppo.
Ok grazie.
Un'altra domanda:
A lezione abbiamo fatto gli omomorfismi. Fra questi ce n'è uno in particolare $ f: G-> G/H $ che associa agli elementi del gruppo G la classe laterale di ''modulo H'' . Io non ho capito bene una cosa: cosa vuol dire concretamente quel ''modulo H''???
Un'altra domanda:
A lezione abbiamo fatto gli omomorfismi. Fra questi ce n'è uno in particolare $ f: G-> G/H $ che associa agli elementi del gruppo G la classe laterale di ''modulo H'' . Io non ho capito bene una cosa: cosa vuol dire concretamente quel ''modulo H''???
Se $H$ e' un sottogruppo normale di $G$, allora $G//H={aH: a\in G}$, cioe' e' l'insieme di tutte le classi laterali sinistre di $H$ in $G$.
Esempio. Prendi $H=2ZZ$ (che e' normale, in quanto $ZZ$ e' abeliano). Ci sono solo due classi laterali, cioe' il gruppo $ZZ//2ZZ$ contiene solo due elementi (ed in questo caso e' isomorfo a $({0,1},+)$.
Esempio. Prendi $H=2ZZ$ (che e' normale, in quanto $ZZ$ e' abeliano). Ci sono solo due classi laterali, cioe' il gruppo $ZZ//2ZZ$ contiene solo due elementi (ed in questo caso e' isomorfo a $({0,1},+)$.
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